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Posté par Filahi974 (invité)re : Démonstration Ordre, valeur absolue 26-10-07 à 15:35

  MERCI BEAUCOUP, mais je viens de me rendre compte qu'ils y en n'avaient encore du même type dans mon DM :s pourriez vous m'aidez .. ?



Théorème : Soit a et b deux réels positifs :
            si 0 < a < b, alors 1/a > 1/b.

Démonstartion

1/a - 1/b = b - a / ab

Or ab > 0 , car c'est le rpoduit de deux nombre positifs.

      {b - a > 0
On a {              , donc b -a / ab > 0 , soit 1 / a - 1 / b > 0;
       {ab > 0

d'où :                                          1 / a > 1 / b.


   3. Soit a un réel strictement positif, montrer que :
      1°  1 / 3(a - 1) + 4 < 1 / 3a ;
      2°  2 / a² + 8 1 / 2a + 2.

______________________________________________________________________________________________________

Propriété : Soit a un réels positif :
            . si a > 1 , alors a < a² < a3 ;
            . si 0 < a < 1 , alors a3 < a² < a .

Démonstration

On a a3 - a² = a² (a - 1) et a² - a = a(a -1);
or si a et a² sont des nombres positifs :
. Si a > 1, alors a - 1 > 0, donc a²(a - 1) > 0 ,d'où a3 > a²; et a(a - 1) > 0, d'où a² > a.

Conclusion : si a > 1 , alors a < a² < a3.

.Si 0 < a < 1, alors a - 1 < 0, donc a²(a - 1) > 0 , d'où a3 < a² ; et a(a - 1) < 0,d'où a² < a.

Conclusion : si 0 < a < 1, alors a3 < a² < a.

4. Soit a un réel positif, montrer que
a) si a > 1,alors a7 < a 8;
b) si 0 < a < 1,alors a n-1 < an-2.


Je vous remerci d'avance pour ces exercices

*** message déplacé ***

Niveau seconde
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valeur absolue

Posté par Filahi974 (invité) 26-10-07 à 17:46

Je fais un nouveau topic pour renouveler (jespere vous allez répondre vite c mon DM :s )



Théorème : Soit a et b deux réels positifs :
            si 0 < a < b, alors 1/a > 1/b.

Démonstartion

1/a - 1/b = b - a / ab

Or ab > 0 , car c'est le rpoduit de deux nombre positifs.

         {b - a > 0
On a {              , donc b -a / ab > 0 , soit 1 / a - 1 / b > 0;
         {ab > 0

d'où :                                          1 / a > 1 / b.


   3. Soit a un réel strictement positif, montrer que :
      1°  1 / 3(a - 1) + 4 < 1 / 3a ;
      2°  2 / a² + 8  1 / 2a + 2.

______________________________________________________________________________________________________

Propriété : Soit a un réels positif :
            . si a > 1 , alors a < a² < a3 ;
            . si 0 < a < 1 , alors a3 < a² < a .

Démonstration

On a a3 - a² = a² (a - 1) et a² - a = a(a -1);
or si a et a² sont des nombres positifs :
. Si a > 1, alors a - 1 > 0, donc a²(a - 1) > 0 ,d'où a3 > a²; et a(a - 1) > 0, d'où a² > a.

Conclusion : si a > 1 , alors a < a² < a3.

.Si 0 < a < 1, alors a - 1 < 0, donc a²(a - 1) > 0 , d'où a3 < a² ; et a(a - 1) < 0,d'où a² < a.

Conclusion : si 0 < a < 1, alors a3 < a² < a.

4. Soit a un réel positif, montrer que
a) si a > 1,alors a7 < a8;
b) si 0 < a < 1,alors a n-1 < an-2.


Je vous remerci d'avance

Posté par Filahi974 (invité)re : valeur absolue 26-10-07 à 19:15

Posté par
H-Espace
re : valeur absolue 26-10-07 à 19:20

juste pour savoir c'est juste les points 3 et 4 qui te genent?
(autre truc a tu fait le principe de récurrence?

Posté par Filahi974 (invité)re : valeur absolue 26-10-07 à 19:25

Ben là je viens de réfléchir dessus pendant un moment et le petit a) numéro 4 et petit 1° du 3 je pense avoir trouver même je suis certains mais le petit b du 4 et le petit 2 du 3 jarive pas :s .
Si tu pouvais m'aider sa serais sympa
Merci d'avance

Posté par Filahi974 (invité)re : valeur absolue 26-10-07 à 19:27

Rectification du petit 2 du grand 3 c'est :
2 / a² + 8 1 / 2a + 2.

Posté par
H-Espace
re : valeur absolue 26-10-07 à 19:31

(a²+8) et (2a+2) ou ils les nombres 2 et 8 ne sont pas au dénominateurs?.

Posté par
H-Espace
re : valeur absolue 26-10-07 à 19:33

sinon pour le 4b
tu sais que a²>a
tu utilises la question précédentes
donc 1/a²<1/a et tu multiplies par a^n car a^n est positif

Posté par
sarriette Correcteur
re : valeur absolue 26-10-07 à 19:36

bonsoir,

3. Soit a un réel strictement positif, montrer que :
1° 1 / 3(a - 1) + 4 < 1 / 3a

3(a-1)+4 = 3a-3+4 = 3a+1

3a+1 > 3a > 0 donc 1/3a+1 < 1/3a

2° 2 / a^2 + 8 \le 1 / 2a + 2.

on va comparer a²+8 et 2a+2

a²+8 - (2a+2) = a²+8 -2a-2 = a²-2a+5 = (a-1)²+5 \ge 0

donc a²+8 \ge 2a+2 et leurs inverses sont ranges dans l'autre sens.

Posté par Filahi974 (invité)re : valeur absolue 26-10-07 à 19:38

pour le 3petit 2 sa donne sa le truc

2          1
------     ------
a²+8     2a+2

Posté par
sarriette Correcteur
re : valeur absolue 26-10-07 à 19:39

rectification:


(a-1)²+5 > 0 donc a²+8 > 2a+2 et les inverses sont dans l'autre sens


Posté par Filahi974 (invité)re : valeur absolue 26-10-07 à 19:39

Merci beaucoup

Posté par Filahi974 (invité)re : valeur absolue 26-10-07 à 19:40

Merci merci merci ! A tous les deux je commence un peut à comrpendre

Posté par
sarriette Correcteur
re : valeur absolue 26-10-07 à 19:43

super persévère

Posté par Filahi974 (invité)re : valeur absolue 26-10-07 à 19:44

juste un truk pour le 4b moi j'ai mis ça :
a > 1
1 < a
1 xa < a x a
a < a²
a7 < a8

Posté par
H-Espace
re : valeur absolue 26-10-07 à 19:50

c'est l'idée... mais tu parles de la 4a la...

Posté par Filahi974 (invité)re : valeur absolue 26-10-07 à 19:52

euh oui pardon mais c'est bon je pense bref.
Merci encore merci !!

Posté par Filahi974 (invité)re : valeur absolue 26-10-07 à 19:59

par contre je n'est pas bien compris ton résonement du 4b

Posté par
H-Espace
re : valeur absolue 26-10-07 à 20:11

Tu utilises le résultat démontré a la question 3/ si avec a=a² et b=a

Posté par Filahi974 (invité)re : valeur absolue 26-10-07 à 20:12

Hum ok Merci encore merci



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