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Niveau première
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Position relative de droites

Posté par matt59 (invité) 26-10-07 à 18:33

Bonjour,
Je voudrai de l'aide pour cette exercice.
Je compren ce qu'il faut faire (la démarche etc..) mais je n'y arrive pas ! =S
Merci de m'aider !

Enoncé :

L'espace est rapporté au repère (0;vecteur i, vecteur j, vecteur k).

Soit D la droite passant par le point A(1;-1;2) et de vecteur directeur :
Vecteur u = vecteur 3i + vecteur j - vecteur k

Soit D' la droite passant par le point B(8;-1;3) et de vecteur directeur :
vecteur v = vecteur -i + vecteur 2j - vecteur 3k

Démontrer que les droites D et D' sont coplanaires.

Posté par
lafol Moderateur
re : Position relative de droites 26-10-07 à 18:47

Bonjour
\vec{AB}=2\vec{u}-\vec{v} ...

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Position relative de droites 26-10-07 à 18:52

Autrement:

Equations paramétriques de la droite D

x-1 = 3t1 --> x = 3t1 + 1
y+1 = t1 --> y = t1-1
z-2 = -t1
---
Equations paramétriques de la droite D'

x-8 = -t2  --> x = -t2+8
y+1 = 2t2  --> y = 2t2-1
z-3 = -3t2
---
3t1 + 1 = -t2+8
3t1 = -t2+7
t2 = 7-3t1

t1-1 = 2t2-1
t1 = 2t2

t2 = 7-3*2t2
t2 = 1 et t1 = 2

z-3 = -3 --> z = 0
colle avec z-2 = -2 --> Les droites D et D' ont le point de coordonnées (7 ; 1 ; 0) en commun

Les droites D et D' sont concourantes et donc coplanaires.
-----
Sauf distraction.  

Posté par
cailloux Correcteur
re : Position relative de droites 26-10-07 à 18:54

Bonjour,

Les deux droites ayant des vecteurs directeurs non colinéaires ne sont pas parallèles.

Il faut donc démontrer qu' elles sont sécantes en M(x,y,z)

M\in D\Longrightarrow AM=s\vec{u} soit: \{x-1=3s\\y+1=s\\z-2=-s

M\in D'\Longrightarrow BM=t\vec{v} soit: \{x-8=-t\\y+1=2t\\z-3=-3t

On résout ce système de 6 équations à 5 inconnues:

Les deux équations en y,s et y,t donnent s=2t

x=1+3s=8-t\Longrightarrow 1+6t=8-t et t=1 d' où s=2

On obtient x=7,y=1,z=0, s=2,t=1 qui vérifient bien les 6 équations.

D et D' sont donc sécantes en M(7,1,0) donc coplanaires.

Posté par
cailloux Correcteur
re : Position relative de droites 26-10-07 à 18:55

Bonjour J-P et rebonjour Lafol

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Position relative de droites 26-10-07 à 18:56

Salut cailloux et lafol.

Posté par matt59 (invité)Position relative de droites 26-10-07 à 19:02

Merci pour vos réponses.
Par contre la réponses de J-P est un peu trop complexe pour moi !
Je ne suis qu'en début de Première S ;D

Bonne soirée

Posté par
lafol Moderateur
re : Position relative de droites 26-10-07 à 19:08

Salut J-P



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