explication calcul de dérivée

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explication calcul de dérivée

Posté le 27-10-07 à 10:47

Posté par Magclo01

Bonjour

En cours nous avons calculer une dérivée avec l'aide d'un taux de croissance.
Mais je n'arrive pas à comprendre comment arrivé au résultat, si quelqu'un pouvait m'éclairer.

On a f(x)=³

(x)

lim
=(³

(x) - ³

x₀)/ (x-x₀)
x-x₀

=(³

(x) - ³

x₀)/((³

(x))³ - (³

x₀)³)

=(³

(x) - ³

x₀)/ (³

(x)-³

x₀)((³

(x))³+ ³

(x).³

(x₀)+ (³

x₀)²)

= 1/ ((³

x₀)² + ³

(x₀)

= 1/ 3(³

x₀)²

Je ne comprend pas les 3 dernière ligne, merci de votre aide

re : explication calcul de dérivée

Posté le 27-10-07 à 11:15

Posté par lyonnais

Bonjour

En fait, tu dois savoir que :

$4$ \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$

$4$\rm x-x_0 = (x^3)^{\frac{1}{3}}-(x_0^3)^{\frac{1}{3}} = (x^{\frac{1}{3}})^3-(x_0^{\frac{1}{3}})^3$

Or tu dois savoir que :

$4$\rm a^3-b^3 = (a-b).(a^2+ab+b^2)$

Donc ici :

$4$\rm x-x_0 = (x^{\frac{1}{3}})^3-(x_0^{\frac{1}{3}})^3 = (x^{\frac{1}{3}}-x_0^{\frac{1}{3}}).[(x^2)^{\frac{1}{3}}+(x_0)^{\frac{1}{3}}.(x)^{\frac{1}{3}}+(x_0^2)^{\frac{1}{3}}]$

Ainsi tu as :

$5$\rm \frac{x^{\frac{1}{3}}-x_0^{\frac{1}{3}}}{x-x_0} = \frac{x^{\frac{1}{3}}-x_0^{\frac{1}{3}}}{(x^{\frac{1}{3}}-x_0^{\frac{1}{3}}).[(x^2)^{\frac{1}{3}}+(x_0)^{\frac{1}{3}}.(x)^{\frac{1}{3}}+(x_0^2)^{\frac{1}{3}}]} = \frac{1}{(x^2)^{\frac{1}{3}}+(x_0)^{\frac{1}{3}}.(x)^{\frac{1}{3}}+(x_0^2)^{\frac{1}{3}}}$

D'où :

$5$\rm \lim_{x\to x_0} \frac{x^{\frac{1}{3}}-x_0^{\frac{1}{3}}}{x-x_0} = \frac{1}{(x_0^2)^{\frac{1}{3}}+(x_0)^{\frac{1}{3}}.(x_0)^{\frac{1}{3}}+(x_0^2)^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{3.(x_0^2)^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{3.(x_0^{\frac{1}{3}})^2$

N'hésites pas à poser des questions

Romain

explication calcul de dérivée

Posté le 27-10-07 à 12:38

Posté par immerwano

autre niveauprofil de Magclo01posté par : Magclo01
Bonjour
En cours nous avons calculer une dérivée avec l'aide d'un taux de croissance.
Mais je n'arrive pas à comprendre comment arrivé au résultat, si quelqu'un pouvait m'éclairer.
On a f(x)=3(x)
lim
               =(3(x) - 3x0)/ (x-x0)
x-x0
=(3(x) - 3x0)/((3(x))3 - (3x0)3)
=(3(x) - 3x0)/ (3(x)-3x0)((3(x))3+ 3(x).3(x0)+ (3x0)²)
= 1/ ((3x0)² + 3(x0)
= 1/ 3(3x0)²
Je ne comprend pas les 3 dernière ligne, merci de votre aide

Bonjour;

La dérivée d'une fonction en  x₀ est par définition :

       $f(x_0)^'$ = $\lim_{x\to x_0 }$ $\frac{f(x)- f(x_0)}{x - x_0}$ .

       si cette limite existe, on dit que la fonction $f$ est dérivable en $x_0$ .

On utilise cette définition pour voir si la fonction est dérivable ou non  en un point.

Let's go !

   $\lim_{x\to x_0 }$ $\frac{f(x)- f(x_0)}{x - x_0}$   =   $\lim_{x\to x_0 }$ $\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x_0}}{x - x_0}$
                               =   $\lim_{x\to x_0 }$ $\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x_0}}{(\sqrt[3]{x})^3 - (\sqrt[3]{x_0})^3}$

/**************************************************************************
*          Car x = $(\sqrt[n]{x})^n$ . La magie des maths.
**************************************************************************/

                               = $\lim_{x\to x_0 }$ $\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x_0}}{(\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{x_0})((\sqrt[3]{x})^2 + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x_0} +(\sqrt[3]{x_0})^2$

/**************************************************************************
* Attention les identités remarquables :

                 $a^3 - b^3$ =   $a^2 + ab + b^2$
et en général :

                 $a^n - b^n$   =   $\sum_{i=0}^n (a^n-i)(b^i)$

****************************************************************************/

Toute la suite, simplifications calculs.

                               = $\lim_{x\to x_0 }$ $\frac{1}{((\sqrt[3]{x})^2 + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x_0} +(\sqrt[3]{x_0})^2$

                               = $\lim_{x\to x_0 }$ $\frac{1}{((\sqrt[3]{x_0})^2 + \sqrt[3]{x_0} \sqrt[3]{x_0} +(\sqrt[3]{x_0})^2$

                               =   $\frac{1}{3(\sqrt[3]{x_0})^2$ .

J'espère avoir été clair.
Merci.

explication calcul de dérivée

Posté le 28-10-07 à 18:28

Posté par immerwano

Bonojur,

Vous m'excusez je dois réctifier un truc.

$a^n - b^n = ( a - b ) \sum_{i = 0 }^^{n-1} a^{(n-i)}$ $b^{i}$

re : explication calcul de dérivée

Posté le 30-10-07 à 15:10

Posté par gui_tou

Joliii Lyonnais

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