injection

Posté par romu romu

Bonjour, j'ai du mal à montrer cette proposition:




Pour la 1), je bloque sur l'implication direte.
Notre prof fait comme ceci:

On suppose que   est injective, et on veut construire une application telle que .

On a , avec et .

On définit l'application telle que quelque soit .

Donc est bijective, et on pose .

Puis on construit une application telle que pour tout ,

on a si , si .

J'ai l'impression que mon prof a pris une application au pif, a-t'on le droit de faire ça?
Ne doit-on pas construire cette application pour pouvoir l'utiliser?

Merci pour votre aide.

Posté par Camélia Camélia

Bonjour romu toujours les cardinaux?

La dem de ton prof est correcte. Comme de toute façon une telle g n'est pas unique, il suffit de décrire une construction qui prouve l'existence. En effet, g est uniquement définie sur f(X), mais sur le complémentaire n'importe quoi fait l'affaire, puisque ces points n'interviennent pas dans le calcul de g o f.

Tu t'en sors pour 2)?

Posté par romu romu

Bonjour Camélia,

oui c'est vrai, je viens de penser que par exemple,
si est non vide, je peux fixer un , et définir l'application telle que .

Si par contre est non vide, on a donc X est vide, et là je ne vois pas vraiment comment trouver ?

Posté par Camélia Camélia

Je suppose que X est sous-entendu non-vide, sinon f:XY, commence à poser des problèmes et de toute façon il n'existe aucune fonction à valeurs dans hormis Id()

Posté par romu romu

d'accord, donc à ce moment là pas de souci, merci Camélia.
Je regarde la 2).

Posté par romu romu

Pour la 2), l'implication réciproque il n'y a pas de souci. Par contre pour l'implication directe...

Donc on suppose surjective.
Soit y\in Y, on considère , et là il faudrait trouver un procédé pour prendre un élément de (qui est non vide par hypothèse),
mais je ne vois pas quel procédé utiliser.

Posté par romu romu

Pardon, c'est ma faute, j'ai mal lu mon cours, en fait il n'y a pas d'implication réciproque,

Je vais tâcher de chercher un contre-exemple.

Posté par romu romu

Je récapitule, je dois trouver une application non surjective, telle qu'il existe une application , .

Mais je n'arrive pas à trouver un tel contre-exemple.

Posté par romu romu

ok,

en tout cas, je commence à croire que c'est bien faux dans le cas général, car apparemment cette propriété entraîne l'axiome du choix, et donc ce serait plus un axiome.

Donc il doit bien y a voir un contre-exemple.

Posté par Dielienne Dielienne

Bonsoir,

Ca me semble faux de dire qu'on peut trouver f non surjective telle que fog=id_Y.
En effet si pour tout y de Y on a f(g(y))=y alors on a un antécédent de y par f qui est g(y)

Posté par romu romu

Bonsoir Dielienne,


oui je suis bête, je me suis emmêlé les pinceaux.
En fait je cherche une application surjective qui n'admet pas d'inverse à droite,

c'est à dire que pour toute application , on doit avoir pour une telle application : .

Posté par Dielienne Dielienne

Rebonsoir

Es tu certain d'avoir bien relu ton cours ?
Parce qu'il me semble avoir eu cet exercice en Licence et en cherchant sur wikipedia ils ont le même énoncé :

=> Etre équivalent à l'axiome du choix ne veut pas dire entraîner l'axiome du choix ^^

Posté par romu romu

mais si une proposition P est équivalente à une proposition Q,
alors en particulier la proposition P entraîne la proposition Q.

Donc si on arrive à montrer que cette proposition est vraie sans faire appel à l'axiome du choix (ce qui risque fort de ne pas être possible),
alors l'axiome du choix sera vraie et démontré.
Et donc ce ne serait plus un axiome vu qu'on pourrait à ce moment là le démontrer à partir de proposition découlant des autres axiomes, non?

Dans mon cours, il n'y a pas l'équivalence, mais après réflexion ça veut pas forcément dire que c'est faux, mais qu'on ne pourra pas le démontrer sans l'axiome du choix, peut-être.

Posté par Dielienne Dielienne

Bien entendu oui, à ce moment là ce ne serait pas un axiome.
Mais dans la preuve que tu avais commencé à faire à ce sujet il me semble que tu devais t'en servir pour conclure

Je disais juste que l'équivalence entre un axiome et une propriété ne veut pas dire que l'axiome n'en est plus un.
Mais il sera impossible de "montrer la propriété" sans accepter l'axiome, même si c'est fait de manière cachée.

Posté par romu romu

oui, je crois que je commence à comprendre ce que tu me dis.
En fait je ne trouverai sûrement pas de contre-exemple.

Même si je rejette l'axiome du choix, je ne pourrais pas pour autant montrer que cette propriété est fausse.