[Sup] L'Astroïde
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[Sup] L'Astroïde
Posté le 30-10-07 à 13:50
Posté par 
gui_tou gui_tou
Bonjour à tous
J'ai un petit problème avec cet exercice :
(le début, c'est du blabla)
Merci bien
gui_tou gui_touBonjour à tous
J'ai un petit problème avec cet exercice :
(le début, c'est du blabla)
Citation :
Le plan
est rapporté au RON (O,
,
).
désigne le cercle trigonométrique.
Quand le point M décrit, on note P (resp. Q) le projeté orthogonal de M sur x'Ox (resp. y'Oy) ; on note enfin H le projeté orthogonal de M sur la droite (PQ). 
désigne alors le lieu des points H.
Donner une définition paramétrique de .
Ok : () : =\cos^3t\\y(t)=\sin^3t)
On considère 
l'ensemble des points du plan d'où l'on peut mener à deux tangentes orthogonales.
Montrer que admet pour représentation paramétrique : () : =\sin t \cos t (\sin t - \cos t)\\y(t)=\sin t \cos t (\sin t + \cos t))
Mon idée, c'est de trouver l'équation de la tangente
à en H, puis de trouver une droite orthogonale 
à celle-ci. Et doit être elle aussi tangente à , en un autre point, H'.
serait l'intersection 
L'équation de la tangente à en H est celle de (PQ), à savoir () : 
Un vecteur normal à est  \\ )
A partir de là, j'essaie de construire l'équation de. Soit )
Ainsi, si je prends un point N du plan,
et 
colinéaires.
Je trouve que : (\sin t' - \cos t')=0)
C'est assez bon signe vu qu'on y reconaît une partie de la définition de.
Le t' me gêne ; dans un précis j'ai des éléments de solution de cet exo, et il indique que = T_t\cap T_{t+\frac{\pi}{2}} \\ )
J'ai donc besoin de vous : comment exprimer t' , et mon raisonnement est-il correct ?
Le plan
Quand le point M décrit
Ok : (
Mon idée, c'est de trouver l'équation de la tangente
L'équation de la tangente
Un vecteur normal à
A partir de là, j'essaie de construire l'équation de
Ainsi, si je prends un point N du plan,
Je trouve que
C'est assez bon signe vu qu'on y reconaît une partie de la définition de
Le t' me gêne ; dans un précis j'ai des éléments de solution de cet exo, et il indique que
J'ai donc besoin de vous : comment exprimer t' , et mon raisonnement est-il correct ?
Merci bien
re : [Sup] L'Astroïde Posté le 30-10-07 à 14:27
Posté le 30-10-07 à 14:27Posté par Camélia Camélia 
Bonjour gui_tou
Il ne s'agit pas de la tangente en H. On prend un point A quelconque et on écrit les équations des deux tangentes qui passent par A. On leur demande d'être orthogonales... Bien sur il faut écrire à peu près tes équations, mais le point de vue change. Pour A, on cherche les points H et H' d'où les tangentes passent par A...
Camélia Camélia Bonjour gui_tou
Il ne s'agit pas de la tangente en H. On prend un point A quelconque et on écrit les équations des deux tangentes qui passent par A. On leur demande d'être orthogonales... Bien sur il faut écrire à peu près tes équations, mais le point de vue change. Pour A, on cherche les points H et H' d'où les tangentes passent par A...
re : [Sup] L'Astroïde Posté le 30-10-07 à 14:46
Posté le 30-10-07 à 14:46Posté par gui_tou gui_tou
Bonjour Camélia et Kévin
Je prends donc un point A quelconque)
Un vecteur directeur de la tangente à est }=\(-\cos%20\,t%20\\\sin%20\,t\))
Et ensuite, je dois trouver l'équation de deux tangentes orthogonales qui passent par A ?
Ces tangentes ont pour vecteurs directeurs respectifs}=\(-\cos%20\,t_1%20\\\sin%20\,t_1\))
et }=\(-\cos%20\,t_2%20\\\sin%20\,t_2\))
Pour un
donné, il existe un unique 
tel que )
et )
soient orthogonaux.
Et ensuite, comment construire les équations de ces tangentes ,
gui_tou gui_touBonjour Camélia et Kévin
Je prends donc un point A quelconque
Un vecteur directeur de la tangente à
Et ensuite, je dois trouver l'équation de deux tangentes orthogonales qui passent par A ?
Ces tangentes ont pour vecteurs directeurs respectifs
Pour un
Et ensuite, comment construire les équations de ces tangentes ,re : [Sup] L'Astroïde Posté le 04-11-07 à 21:51
Posté le 04-11-07 à 21:51Posté par Mariette Mariette
Moui, de la zoli géometrie qu'i dit... Bon, je réflechis quand même mais c'est bien parce que c'est toi
Mariette Mariette Moui, de la zoli géometrie qu'i dit... Bon, je réflechis quand même mais c'est bien parce que c'est toi
re : [Sup] L'Astroïde Posté le 04-11-07 à 22:01
Posté le 04-11-07 à 22:01Posté par Mariette Mariette
tu sais bien vendre ton exo
Bon, en faisant un dessin de mon côté, j'ai noté que les tangentes de l'astroïde n'étaient autres que les droites (PQ) du départ. Peut-on en faire quelque chose, mystère.
D'autre part, il est clair sur le graphique que si on ne considère qu'un arc de la bête, on ne peut pas avoir de tangentes perpendiculaires, on doit donc pouvoir montrer que deux tangentes sont perpendiculaires ssi elles correspondent à un paramètre t et t+pi/2.
Du coup on aurait plus qu'à chercher les coordonnées du point d'intersection, en fonction de t.
Allez, je le tente.
Mariette Mariette tu sais bien vendre ton exo
Bon, en faisant un dessin de mon côté, j'ai noté que les tangentes de l'astroïde n'étaient autres que les droites (PQ) du départ. Peut-on en faire quelque chose, mystère.
D'autre part, il est clair sur le graphique que si on ne considère qu'un arc de la bête, on ne peut pas avoir de tangentes perpendiculaires, on doit donc pouvoir montrer que deux tangentes sont perpendiculaires ssi elles correspondent à un paramètre t et t+pi/2.
Du coup on aurait plus qu'à chercher les coordonnées du point d'intersection, en fonction de t.
Allez, je le tente.
re : [Sup] L'Astroïde Posté le 04-11-07 à 22:06
Posté le 04-11-07 à 22:06Posté par gui_tou gui_tou
Voilà : c'est là où je bloque. On ne doit pas le sortir du chapeau comme ça. Si j'arrive à le montrer, alors je saurai enchaîner
Je peux d'ores et déjà dire qu'une équation de la tangente orthogonale à ma tangente est de la forme :
Reste à montrer que
Merci Beaucouuuup en tout cas, Mariette
gui_tou gui_touCitation :
on doit donc pouvoir montrer que deux tangentes sont perpendiculaires ssi elles correspondent à un paramètre t et t+pi/2.
on doit donc pouvoir montrer que deux tangentes sont perpendiculaires ssi elles correspondent à un paramètre t et t+pi/2.
Voilà : c'est là où je bloque. On ne doit pas le sortir du chapeau comme ça. Si j'arrive à le montrer, alors je saurai enchaîner
Je peux d'ores et déjà dire qu'une équation de la tangente orthogonale à ma tangente est de la forme :
Reste à montrer que
Merci Beaucouuuup en tout cas, Mariette
re : [Sup] L'Astroïde Posté le 04-11-07 à 22:13
Posté le 04-11-07 à 22:13Posté par Mariette Mariette
attends, les arcs paramétrés, c'est loin, alors je me vautre peut-être, mais pour la tangente, moi je trouve comme vecteur directeur :
=-3\sin(t)\cos^2(t)\\ \\ y'(t)=3\cos(t)\sin^2(t)\end{tabular} \\ )
Mariette Mariette attends, les arcs paramétrés, c'est loin, alors je me vautre peut-être, mais pour la tangente, moi je trouve comme vecteur directeur :
re : [Sup] L'Astroïde Posté le 04-11-07 à 22:20
Posté le 04-11-07 à 22:20Posté par gui_tou gui_tou
Voui, et en divisant par
on retrouve ce que j'ai dit, en faisant attention au t, non ?
gui_tou gui_touVoui, et en divisant par
re : [Sup] L'Astroïde Posté le 04-11-07 à 22:27
Posté le 04-11-07 à 22:27Posté par Mariette Mariette
D'abord, j'ai bon, parce que ça marche
Regarde et admire (non, je rigole, regarde et critique ):
J'ai donc deux vecteurs directeurs de tangentes, un pour t un pour t', et j'écris qu'il sont orthogonaux :
\cos^2(t))\times(-3\sin(t')\cos^2(t'))+(3\cos(t)\sin^2(t))\times(3\cos(t')\sin^2(t'))=0 \\ \Longleftrightarrow 9\sin(t)\sin(t')\cos(t)\cos(t')\big(\cos(t)\cos(t')+\sin(t)\sin(t')\big)=0)
et là, c'est pas beau, mais c'est presque fini : j'élimine presque tout:
\sin(t')\cos(t)\cos(t')}_{\neq0{\rm\ car\ }t,t'\neq0+k\pi/2}\underbrace{\big(\cos(t)\cos(t')+\sin(t)\sin(t')\big)}_{\cos(t-t')}=0)
grr j'arrive pas à faire des grandes accolades en dessous, ça minerve...
bref : on obtient :
=0)
d'où notre 
il reste à fignoler les bords (t ou t' nul à pi/2 près)
Mariette Mariette D'abord, j'ai bon, parce que ça marche
Regarde et admire (non, je rigole, regarde et critique
):J'ai donc deux vecteurs directeurs de tangentes, un pour t un pour t', et j'écris qu'il sont orthogonaux :
et là, c'est pas beau, mais c'est presque fini
: j'élimine presque tout:grr j'arrive pas à faire des grandes accolades en dessous, ça minerve...
bref : on obtient :
il reste à fignoler les bords (t ou t' nul à pi/2 près)
re : [Sup] L'Astroïde Posté le 04-11-07 à 22:38
Posté le 04-11-07 à 22:38Posté par gui_tou gui_tou
Trop forte Marriette
J'avais pas pensé à mettre en équation le fait qu'elles soient orthogonales, nos tangentes
Je serais encore plus admiratif quand j'aurais refait les calculs
Mais je ne peux pas garder pour vecteur directeur ? Ca simplifie les calculs, non ?
T'es géniale
gui_tou gui_tou Trop forte Marriette J'avais pas pensé à mettre en équation le fait qu'elles soient orthogonales, nos tangentes
Je serais encore plus admiratif quand j'aurais refait les calculs
Mais je ne peux pas garder
T'es géniale re : [Sup] L'Astroïde Posté le 04-11-07 à 22:44
Posté le 04-11-07 à 22:44Posté par Mariette Mariette
bon, je suis désolée, mais je vous abandonne lachement toi et ton astroïde, mes petits nieux se fermant tout seuls...
bonne nuit !
Mariette Mariette bon, je suis désolée, mais je vous abandonne lachement toi et ton astroïde, mes petits nieux se fermant tout seuls...
bonne nuit !
re : [Sup] L'Astroïde Posté le 05-11-07 à 00:37
Posté le 05-11-07 à 00:37Posté par gui_tou gui_tou
Bingo j'ai tout bon
Reste plus qu'à étudier la bête
Mais ça va, avec toutes les symétries je peux me contenter d'une étude sur![\large \rm \[0,\fra{\pi}{4}]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\large \rm \[0,\fra{\pi}{4}])
Merci encore Mariette
gui_tou gui_touBingo j'ai tout bon
Reste plus qu'à étudier la bête
Mais ça va, avec toutes les symétries je peux me contenter d'une étude sur
Merci encore Mariette
re : [Sup] L'Astroïde Posté le 30-01-08 à 19:49
Posté le 30-01-08 à 19:49Posté par moomin moomin
T'es pas un peu trop jeune ? 
C'est quoi un astroide ? c'est la figure que tu as postée ?
moomin moomin T'es pas un peu trop jeune ? C'est quoi un astroide ? c'est la figure que tu as postée ?
re : [Sup] L'Astroïde Posté le 30-01-08 à 19:53
Posté le 30-01-08 à 19:53Posté par moomin moomin
Une astroïde est une courbe plane, qui peut se définir de plusieurs façons. En particulier, il est possible de l'obtenir en faisant rouler un cercle de rayon ¼ à l'intérieur d'un cercle de rayon 1. Pour cette raison, l'astroïde est une hypocycloïde de cercle à quatre points de rebroussement.
Na !
moomin moominUne astroïde est une courbe plane, qui peut se définir de plusieurs façons. En particulier, il est possible de l'obtenir en faisant rouler un cercle de rayon ¼ à l'intérieur d'un cercle de rayon 1. Pour cette raison, l'astroïde est une hypocycloïde de cercle à quatre points de rebroussement.
Na !
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