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Aire d'un triangle en fonction de x et dérivée

Posté par
Ladymj
01-11-07 à 18:54

Salut à tous avant d'exposer mon problème je tenais à remercier toutes les personnes qui sont sur l'île car grâce à eux je réussis mieux mes devoirs et surtout je comprend!
Alors voila: On considère dans le plan P rapporté à un repère orthonormal (O,) le cercle de cente O et de rayon 1. Soit A le point de coordonnées (1;0) et A' le point de cordonnées (-1;0).
1) Pour tout point H du segment [AA'] distinct de A et A', on mène la perpendiculaire à la droite (AA'). La droite coupe le cercle en M et M' (on notera M le point d'ordonnée positive).On pose le vecteur OH= x. Calculer en fonction de x l'aire du triangle AMM'.
2) Soit f la fonction définie sur [-1;1] par: f(x)= (1-x)1-x² et soit C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal
a) Etudier la dérivabilité de f en -1 et 1. (jy arrive en 1 et pas en -1)En déduire les tangentes à C en ses points d'abscisse -1 et 1.
b) Calculer f'(x) pour x appartenant à l'intervalle  ]-1;1[ . En déduire le tableau de variation de f, on y précisera f(0).
3) Montrer que le triangle AMM' d'aire maximale est équilatéral.
Voici les questions qui me posent problème sinon le reste sa peut aller mais mon devoir dépend de ses questions s'il vout plait aider moi.

Posté par
Ladymj
re : Aire d'un triangle en fonction de x et dérivée 01-11-07 à 19:40

heu ya personne pour m'aider à faire cet exercice?! Help!

Posté par
patrice rabiller
re : Aire d'un triangle en fonction de x et dérivée 01-11-07 à 19:57

Bonjour,

1)Pour calculer l'aire du triangle AMM' en fonction de x, il faut comencer par déterminer les coordonnées des points H, M et M' :
H(x,0), M\(x,sqrt{1-x^2}\) et M'\(x,-sqrt{1-x^2}\).

L'aire d'un triangle est donnée par la formule : (basehauteur)/2

La base est MM' = 2\sqrt{1-x^2}
La hauteur est AH = 1-x  (car x]-1;1[).

À toi ...

Posté par
patrice rabiller
re : Aire d'un triangle en fonction de x et dérivée 01-11-07 à 19:58

Une petite figure peut-être ...

Aire d\'un triangle en fonction de x et dérivée

Posté par
Ladymj
re : Aire d'un triangle en fonction de x et dérivée 01-11-07 à 20:25

bonjour patrice rabiller donc se serait aire= AH*MM'/2 soit (1-x*2(1-x²))/2 soit (1-x)(1-x²)

Posté par
Ladymj
re : Aire d'un triangle en fonction de x et dérivée 01-11-07 à 20:28

ainsi on retombe sur la fonction f! je n'avais pas remarqué que c'était aussi simple que sa! merci beaucoup. Peut on étudier la question 2 ensemble?

Posté par
Ladymj
re : Aire d'un triangle en fonction de x et dérivée 01-11-07 à 20:32

Mais avant cette question peut vous semblez bête mais comment avez vous déterminé les coordonnées des points M et M'?

Posté par
patrice rabiller
re : Aire d'un triangle en fonction de x et dérivée 01-11-07 à 20:36

Pour les coordonnées de M et de M', j'ai bêtement utilisé le théorème de Pythagore appliqué au triangle OMH, sachant que OH=|x| et OM=1 ...

Pour la suite je veux bien t'aider ... mais ce sera pour demain matin (tôt). Zzzz ...

Posté par
Ladymj
re : Aire d'un triangle en fonction de x et dérivée 01-11-07 à 21:21

d'accord mais tôt pour vous c'est quelle heure? car j'habite en martinique (il y a donc le décalage!)

Posté par
Ladymj
re : Aire d'un triangle en fonction de x et dérivée 01-11-07 à 21:41

ben je viendrais a 7h(heure de chez moi)pour pythagore je vois toujours pas pourquoi vous l'utilisez!
OM²=OH²+HM²
1=|x|²+HM²
HM²=1-x
HM=(1-x)
alors pourriez vous m'expliquez? Moi aussi je commence a être fatiguée bonne soirée et a demain

Posté par
Ladymj
re : Aire d'un triangle en fonction de x et dérivée 02-11-07 à 03:39

heu patrice rabiller j'essayerai de me connecter a 5h chez moi donc 10h chez vous jespère que sa ira @bientot

Posté par
patrice rabiller
re : Aire d'un triangle en fonction de x et dérivée 02-11-07 à 06:09

Bonjour,

Comme tu l'as démontré, 1=|x|^2+HM^2=x^2+HM^2

Donc :HM^2=1-x^2

Donc HM=\sqrt{1-x^2}.

Cette longueur HM représente l'ordonnée (positive) du point M.

Donc M\(x;\sqrt{1-x^2}\)

Posté par
Ladymj
re : Aire d'un triangle en fonction de x et dérivée 02-11-07 à 10:11

bonjour,
Ah d'accord j'ai compris on fait aussi la même chose pour M' non?

Posté par
Ladymj
re : Aire d'un triangle en fonction de x et dérivée 02-11-07 à 10:57

dans le triangle OHM' d'après le théorème de Pythagore on a:
OM'²=OH'²+HM'²
1²=|x|²+HM'²=-x²+HM'²
HM'²=1+x²
HM'=(1+x²)
Vous voyez je trouve que l'ordonnée de M' est (1+x²) alors que vous trouvé -(-1-x²) quelle est mon erreur ici?

Posté par
patrice rabiller
re : Aire d'un triangle en fonction de x et dérivée 02-11-07 à 11:41

C'est beaucoup plus simple :

HM' = HM pour cause de symétrie.

Donc l'ordonnée de M' est l'opposée de celle de M.

Donc l'ordonnée de M' est -\sqrt{1-x^2}

Je n'ai jamais dit que l'ordonnée de M' était autre chose...

Posté par
Ladymj
re : Aire d'un triangle en fonction de x et dérivée 02-11-07 à 11:48

2)a) DERIVABILITE en -1
Pour x>-1
f(x)-f(-1)/x-(-1)= (1-x)(1-x²)-0/x+1
=(1-x)(1-x²)/x+1
=(1-x)((1-x)(1+x))/x+1
=(1-x)(1-x)(1+x)/(1+x)²
=(1-x)(1-x)/x+1

limite de (1-x)(x tend vers -1)(1-x)=22
limite de x+1 (x tend vers -1)=0
Donc limite de f(x)-f(-1)/x+1=+ donc ce n'est pas dérivable en -1. Donc il y a une tangente en -1

DERIVABILITE EN 1
Pour x>1
f(x)-f(1)/x-1= (1-x)(1-x²)/x-1
=-(1-x²)
limite de -(1-x²) (x tend vers 1)=0
Donc f est dérivable en 1 Mais il n'y a pas de tangente en 1 alors pourquoi demande t-on
"En déduire les tangentes à C en ses points d'abscisse -1 et 1." si il existe pour l'un et pas pour l'autre?

Posté par
Ladymj
re : Aire d'un triangle en fonction de x et dérivée 02-11-07 à 11:55

d'accord j'ai compris! Aparament j'aime me compliqué la vie!

Posté par
patrice rabiller
re : Aire d'un triangle en fonction de x et dérivée 02-11-07 à 11:56

Je suis d'accord pour dire : \lim_{x\to-1}\frac{f(x)-f(-1)}{x+1}=+\infty.
Tu en conclus à juste titre que f n'est pas dérivable en -1 et qu'il y a une tangente.

Tu peux préciser que la tangente à la courbe au point d'abscisse -1 est verticale (parallèle à l'axe Oy))

De m^^eme je suis d'accord avec toi : f est dérivable en 1 et f'(1)=0. Donc il y a une tangente horizontale au point d'abscisse 1...

Posté par
Ladymj
re : Aire d'un triangle en fonction de x et dérivée 02-11-07 à 12:00

si j'ai bien compris même quand la fonction est dérivable comme en 1 elle admet une tangente??

Posté par
Ladymj
re : Aire d'un triangle en fonction de x et dérivée 02-11-07 à 12:02

Mais cette fonction admet une limite finie?!

Posté par
patrice rabiller
re : Aire d'un triangle en fonction de x et dérivée 02-11-07 à 12:05

C'est même la règle générale : lorsqu'une fonction est dérivable en un point a alors sa courbe admet une tangente dont le coefficient directeur est f'(a).

Attention, la réciproque est fausse : si une courbe a une tangente au point d'abscisse a, cela ne signifie pas toujours qu'elle est dérivable en a : c'est le cas lorsque la tangente est "verticale". Dans ce cas, elle n'a pas de coefficient directeur et donc il n'y a pas de nombre dérivé en ce point... (on trouve que la limite du taux de variation est infinie ...)

Posté par
Ladymj
re : Aire d'un triangle en fonction de x et dérivée 02-11-07 à 12:13

OK merci d'éclaircir ce point avec moi (une confusion en moins!) on passe a la dérivation de f maintenant?
j'ai essayé de dérivé mais le résultat es contradictoire

Posté par
patrice rabiller
re : Aire d'un triangle en fonction de x et dérivée 02-11-07 à 12:17

Je trouve  f'(x)=-\sqrt{1-x^2}-\frac{x(1-x)}{\sqrt{1-x^2}}

Après réduction au même dénominateur, j'obtiens : f'(x)=\frac{2x^2-x-1}{\sqrt{1-x^2}}.

Posté par
Ladymj
re : Aire d'un triangle en fonction de x et dérivée 02-11-07 à 12:23

comment trouver vous ce résultat? Pouvez mettre le détail de vos calculs s'il vous plait car moi j'avais trouvé -(1-x²)-(x+x²/(1-x²))

Posté par
patrice rabiller
re : Aire d'un triangle en fonction de x et dérivée 02-11-07 à 13:16

Si on pose \{\array{u(x)=1-x\\v(x)=\sqrt{1-x^2}} alors on a : \{\array{u'(x)=-1\\v'(x)=\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}}

Ensuite on utilise la formule (uv)'=u'v+uv'

Posté par
Ladymj
re : Aire d'un triangle en fonction de x et dérivée 02-11-07 à 13:29

Mais j'ai fait comme vous quand on fait uv'sa donne au numérateur -x+x²...

Posté par
Ladymj
re : Aire d'un triangle en fonction de x et dérivée 02-11-07 à 13:35

ah oui je vois en factorisant par x on a x(x-1)

Posté par
patrice rabiller
re : Aire d'un triangle en fonction de x et dérivée 02-11-07 à 13:36

Je suis d'accord.

Voici le détail :

f'(x)=(-1)\sqrt{1-x^2}+(1-x)\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}

f'(x)=-\sqrt{1-x^2}-\frac{(1-x)(x)}{\sqrt{1-x^2}}

f'(x)=\frac{-\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-x^2}-x(1-x)}{\sqrt{1-x^2}}

f'(x)=\frac{-(1-x^2)-x+x^2}{\sqrt{1-x^2}}

f'(x)=\frac{2x^2-x-1}{\sqrt{1-x^2}}

Posté par
Ladymj
re : Aire d'un triangle en fonction de x et dérivée 02-11-07 à 13:43

bouya!!!! yo capisco! merci beaucoup et désolé pour mes étourderies et plus...
maintenant je pense bien faire le tableau de variation, l'équation de la tangente en son point d'abscisse 0 est -x+1 il me reste plus qu'un problème c'est la question3

Posté par
Ladymj
re : Aire d'un triangle en fonction de x et dérivée 02-11-07 à 13:54

oups! pourquoi quand on regarde le graphique de la dérivée de f et celui de la fonction f pourquoi sont ils contraires? (f'(x) est décroissante puis croissante et f(x) est croissante puis décroissante)

Posté par
Ladymj
re : Aire d'un triangle en fonction de x et dérivée 02-11-07 à 14:26

en tout cas mon tableau de variation semble correcte car j'obtiens au final f(x) croissant puis décroissant car f'(x) dépend du signe de 2x²-x-1 et de (1-x²)

Posté par
Ladymj
re : Aire d'un triangle en fonction de x et dérivée 02-11-07 à 14:34

euh patrice rabiller je retourne vers 12h-13h j'espère que vous serez présent à tout a l'heure!

Posté par
patrice rabiller
re : Aire d'un triangle en fonction de x et dérivée 02-11-07 à 14:40

Le sens de variation de f' n'a rien à voir avec celui de f. Ce qui compte c'est le signe de f'.

Ainsi, sur le graphique ci-dessous, la courbe de f' (en rouge) coupe l'axe (Ox) en -0,5 et donc devient négative sur [-0,1; 1]. Donc la fonction f est décroissante sur cet intervalle ...

Aire d\'un triangle en fonction de x et dérivée

Posté par
Ladymj
re : Aire d'un triangle en fonction de x et dérivée 02-11-07 à 18:06

Oui je l'ai remarqué quand j'ai fait mon tableau de variation. J'avais raison pour l'équation de la tangente?

Posté par
patrice rabiller
re : Aire d'un triangle en fonction de x et dérivée 02-11-07 à 18:33

L'équation de la tangente au point d'abscisse 0 est bien y=-x+1 (et non pas -x+1 qui n'est pas une équation car il n'y a pas de signe = )

Posté par
Ladymj
re : Aire d'un triangle en fonction de x et dérivée 02-11-07 à 18:35

d'accord sinon peut faire la dernière question ensemble? Pour celle la je n'ai pas su répondre car je n'ai pas la moindre idée

Posté par
patrice rabiller
re : Aire d'un triangle en fonction de x et dérivée 02-11-07 à 18:39

D'après l'étude des variations de f, l'aire est maximale lorsque x=-0,5. Cela correspond à un cosinus de 2/3 (c'est-à-dire pour l'angle AOM de 120°)... À toi de conclure.

Posté par
Ladymj
re : Aire d'un triangle en fonction de x et dérivée 02-11-07 à 18:50

ah oui le maximum dans le tableau est pour x=-0.5 et c'est vrai que par rapport au cercle cela correspond a 2 /3! Mon prof a raison je manque de rigueur et je suis pas assez attentive merci patrice rabiller

Posté par
Ladymj
re : Aire d'un triangle en fonction de x et dérivée 02-11-07 à 19:07

heu même si AOM fait 120° dans un triangle équilatéral les angles vaut 60° chacun...

Posté par
Ladymj
re : Aire d'un triangle en fonction de x et dérivée 02-11-07 à 19:31

je réfléchis encore le triangle AMM' est isocèle or
si un triangle isocèle a un angle de 60°, alors il est équilatéral. car un triangle isocèle a deux angles égaux : donc toujours sur un total de 180°: 180° - 60°= 120 ° et 120° / 2 (car réparti sur les 2 angles égaux) = 60°.
j'ai l'impression d'avoir la réponse sur le bout de la langue est-ce-que je brûle?

Posté par
patrice rabiller
re : Aire d'un triangle en fonction de x et dérivée 02-11-07 à 19:52

Le triangle AMM' est inscrit dans un cercle et chacun des 3 ars fait 120°. Que faut-il de plus pour dire qu'il s'agit d'un triangle équilatéral ?

Posté par
Ladymj
re : Aire d'un triangle en fonction de x et dérivée 02-11-07 à 19:59

désolée la je suis perdue pour moi pour qu'un triangle soit équilatéral ses 3 côtés doivent être égaux

Posté par
Ladymj
re : Aire d'un triangle en fonction de x et dérivée 02-11-07 à 20:01

mais jy suis il suffit de démontrer que AM=AM'=MM'

Posté par
Ladymj
re : Aire d'un triangle en fonction de x et dérivée 02-11-07 à 20:38

si je calcule ces trois distances je retrouve a un moment une erreur: au lieu de trouver 1 je trouve 1.5
AM=((1-x)²+(0-1-x²)²)
AM=(1-2x+x²-1-x²)
AM=-2x

AM'=((1-x)²+(0+1-x²)²)
AM'=(1-2x+x²+1-x²)
AM'=(2-2x)

MM'=((x-x)²+((1-x²)+(1-x²))²)
MM'=(1-x²+1-x²)
MM'=(2-2x)²

étant donné que x=-0.5 on trouve que AM et AM'=1 et que MM'=1.5

Posté par
patrice rabiller
re : Aire d'un triangle en fonction de x et dérivée 02-11-07 à 20:45

Lorsque x=-0.5, alors on obtient M(-0,5; \frac{\sqrt 3}{2}) et M'(-0,5; -\frac{\sqrt 3}{2})

Par ailleurs A(1;0).

On trouve AM=MM'=AM'=\sqrt 3

Posté par
Ladymj
re : Aire d'un triangle en fonction de x et dérivée 02-11-07 à 20:54

ah heu je viens de voir mon erreur j'ai pris comme coordonnées A(1;0) et j'ai gardé M (x;1-x²) pareil pour M' j'ai oublié de remplacé encore désolée! snif! En tout cas merci pour votre aide j'ai tout compris et achevé mon devoir il me reste à recopier. Un grand merci! Pourrais-je compter sur vous au cas ou j'ai un autre problème en math?

Posté par
patrice rabiller
re : Aire d'un triangle en fonction de x et dérivée 02-11-07 à 21:00

Pourquoi pas, si je suis disponible

Posté par
Ladymj
re : Aire d'un triangle en fonction de x et dérivée 02-11-07 à 21:03

Merci au fait je vous trouve très sympathique et patient avec moi et je vous en remercie

Posté par
scoobidoo
re : Aire d'un triangle en fonction de x et dérivée 27-10-10 à 22:17

Bonjour
c'est la deuxième méthode pour faire l'exercice que je n'arrive pas à faire
on pose (I,OM)=θ
1) soit g la fonction qui a tout réel θ de ]0;pi[ associe l'aire du triangle AMM'. exprimer g(θ) en fonction de θ.
2) dresser le tableau de variations de g.

Je n'arrive pas du tout à débuter. Pour la question 2) si j'ai la fonction je pense me débrouillée.
Merci d'avance. J'espère avec un peu d'aide pour commencer. A bientôt sur le forum

Posté par
Romanoo
Question bête 03-02-11 à 17:05

Je ne comprend pas pour AH = 1 - x ; car moi je vois que AH = 1 + x plutôt ...

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