Divsion euclienne
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Divsion euclienne
Posté le 01-11-07 à 20:49
Posté par 
Joffrey25 Joffrey25
Bonjour,
J'ai un dm de maths à faire et j'ai pas mal de souci à répondre à toutes les questions.
Voici l'énoncé :
Soit y = -1/2 + ((Racine de 3)/2 )i. On définit l'ensemble
[y] = a+bj| (a,b)appartient à ^2.
1- a) Montrer que 1+y+y^2 =0, que y barre = y^2 et que y^3 = 1.
C'est bon j'ai trouvé.
b) Montrer que quelquesoit (x,z)appartient à[y]^2, xz aoppartient à [y].
J'ai mis :
x=a+ib et z=a'+ib'
zx =(a+ib) (a'+ib')
zx = aa'+ab'i+iba'-bb'
zx = aa'-bb'+i(ab'+ba')
zx = A + i B avec A = aa'-bb' et B = ab'+ba'. C'est bien cela ?
Donc on peut en déduire que quelquesoit x et z qui appartiennent à l'ensemble[y]^2, xz appartient à [y]
Mais je bloque à la question 3 :
Soit P un polynôme à coefficients dans.
Il faut que j'écrive la division euclidienne de P par X^2+X+1. On admettra que le reste est encore un polynome à coefficients dans.
Je sais bien faire une division euclidienne mais je prends quoi pour P ?
Merci d'avance pour votre aide car je sèche là et en plus c'est noté...
Bonne soirée.
Joffrey25 Joffrey25Bonjour,
J'ai un dm de maths à faire et j'ai pas mal de souci à répondre à toutes les questions.
Voici l'énoncé :
Soit y = -1/2 + ((Racine de 3)/2 )i. On définit l'ensemble
[y] = a+bj| (a,b)appartient à ^2.1- a) Montrer que 1+y+y^2 =0, que y barre = y^2 et que y^3 = 1.
C'est bon j'ai trouvé.
b) Montrer que quelquesoit (x,z)appartient à
[y]^2, xz aoppartient à [y].J'ai mis :
x=a+ib et z=a'+ib'
zx =(a+ib) (a'+ib')
zx = aa'+ab'i+iba'-bb'
zx = aa'-bb'+i(ab'+ba')
zx = A + i B avec A = aa'-bb' et B = ab'+ba'. C'est bien cela ?
Donc on peut en déduire que quelquesoit x et z qui appartiennent à l'ensemble
[y]^2, xz appartient à [y]Mais je bloque à la question 3 :
Soit P un polynôme à coefficients dans
.Il faut que j'écrive la division euclidienne de P par X^2+X+1. On admettra que le reste est encore un polynome à coefficients dans
.Je sais bien faire une division euclidienne mais je prends quoi pour P ?
Merci d'avance pour votre aide car je sèche là et en plus c'est noté...
Bonne soirée.
re : Divsion euclienne Posté le 01-11-07 à 22:03
Posté le 01-11-07 à 22:03Posté par Cauchy Cauchy
Bonjour,
à part écrire que P=(X²+X+1)Q+R(X) avec R dans Z[X] on ne peut en dire plus.
Cauchy CauchyBonjour,
à part écrire que P=(X²+X+1)Q+R(X) avec R dans Z[X] on ne peut en dire plus.
re : Divsion euclienne Posté le 01-11-07 à 22:10
Posté le 01-11-07 à 22:10Posté par Joffrey25 Joffrey25
Ok merci car après il faut que j'exprime le reste au moyen de P(j) et de P(j barre)...
C'est pour ca que je trouve bizzare de le laisser de la sorte...
Joffrey25 Joffrey25Ok merci car après il faut que j'exprime le reste au moyen de P(j) et de P(j barre)...
C'est pour ca que je trouve bizzare de le laisser de la sorte...
re : Divsion euclienne Posté le 01-11-07 à 22:14
Posté le 01-11-07 à 22:14Posté par Cauchy Cauchy
Bien P(j)=R(j) et P(jbarre)=R(jbarre) déja et le reste est de degré 1 et tu connais sa valeur en deux points..
Cauchy CauchyBien P(j)=R(j) et P(jbarre)=R(jbarre) déja et le reste est de degré 1 et tu connais sa valeur en deux points..
re : Divsion euclienne Posté le 01-11-07 à 22:18
Posté le 01-11-07 à 22:18Posté par franz franz
Bonsoir Joffrey25
Le début est bon
Comme l'écrit Cauchy dans un premier temps
![P(X)=(X^2+X+1)Q(X)+R(X) \quad \text{avec} R \quad \text{dans} \quad {\mathbb Z}[X]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?P(X)=(X^2+X+1)Q(X)+R(X) \quad \text{avec} R \quad \text{dans} \quad {\mathbb Z}[X] )
mais il ne faut pas s'arrêter là.
En effet,<deg(X^2+X+1)\quad \Longrightarrow \quad deg(R)\leq 1 \quad \Longrightarrow \quad R(X)=aX+b)
On détermine a et b en identifiant les fonctions polynômes pour les valeurs
et 
En effet
=(y^2+y+1).Q(y)\;+\;R(y) =a.y+b )
=(\bar y^2+\bar y+1).Q(\bar y)\;+\;R(\bar y) =a.\bar y+b )
Il suffit de résoudre le système de 2 eqns à 2 inconnues (a et b)
franz franzBonsoir Joffrey25
Le début est bon
Comme l'écrit Cauchy dans un premier temps
mais il ne faut pas s'arrêter là.
En effet,
On détermine a et b en identifiant les fonctions polynômes pour les valeurs
En effet
Il suffit de résoudre le système de 2 eqns à 2 inconnues (a et b)
re : Divsion euclienne Posté le 02-11-07 à 11:03
Posté le 02-11-07 à 11:03Posté par Joffrey25 Joffrey25
Ok merci bien.
Donc pour P(y),
R(y) = a ((-1/2) +
3/2 i) +b
C'est bien cela qu'il faut écrire ? Car je ne vois pas trop comment obtenir a et b sachant que l'on ne connait pas R(y) et R(ybarre) non ?
Merci d'avance.
Joffrey25 Joffrey25Ok merci bien.
Donc pour P(y),
R(y) = a ((-1/2) +
3/2 i) +bC'est bien cela qu'il faut écrire ? Car je ne vois pas trop comment obtenir a et b sachant que l'on ne connait pas R(y) et R(ybarre) non ?
Merci d'avance.
re : Divsion euclienne Posté le 02-11-07 à 13:47
Posté le 02-11-07 à 13:47Posté par Cauchy Cauchy
Tu dois exprimer les coefficients a et b du polynôme R(X)=aX+b en te servant du fait que R(j)=P(j) et R(jbarre)=P(jbarre) cela te donnera une expression de a et b en fonction de P(j) et P(jbarre).
Cauchy CauchyTu dois exprimer les coefficients a et b du polynôme R(X)=aX+b en te servant du fait que R(j)=P(j) et R(jbarre)=P(jbarre) cela te donnera une expression de a et b en fonction de P(j) et P(jbarre).
re : Divsion euclienne Posté le 02-11-07 à 14:00
Posté le 02-11-07 à 14:00Posté par Joffrey25 Joffrey25
Ok merci. Donc ce la donne :
R(y) = a ((-1/2) +3/2 i) +b
a = R(y)/((-1/2) +3/2 i) -b
a = P(y)/((-1/2) +3/2 i) -b
Pour b :
b = R(y)/((-1/2) +3/2 i)a
b = P(y)/((-1/2) +3/2 i)a
C'est cela qu'il faut faire ou simplement mettre :
a+b = R(y)/((-1/2) +3/2 i)
Merci beaucoup. Je ferai pour y barre si c'est juste...
Joffrey25 Joffrey25Ok merci. Donc ce la donne :
R(y) = a ((-1/2) +3/2 i) +b
a = R(y)/((-1/2) +3/2 i) -b
a = P(y)/((-1/2) +3/2 i) -b
Pour b :
b = R(y)/((-1/2) +3/2 i)a
b = P(y)/((-1/2) +3/2 i)a
C'est cela qu'il faut faire ou simplement mettre :
a+b = R(y)/((-1/2) +3/2 i)
Merci beaucoup. Je ferai pour y barre si c'est juste...
re : Divsion euclienne Posté le 02-11-07 à 14:02
Posté le 02-11-07 à 14:02Posté par Cauchy Cauchy
Il faut résoudre le système il ne doit pas y avoir de a dans l'expresson de b et réciproquement.
Cauchy CauchyIl faut résoudre le système il ne doit pas y avoir de a dans l'expresson de b et réciproquement.
re : Divsion euclienne Posté le 02-11-07 à 14:32
Posté le 02-11-07 à 14:32Posté par Joffrey25 Joffrey25
Ah ok merci. Donc ca donne
a = P(y)/((-1/2) +3/2 i) - P(y)/((-1/2) +3/2 i)a
C'est cela ? Et après je simplifie...
Joffrey25 Joffrey25Ah ok merci. Donc ca donne
a = P(y)/((-1/2) +3/2 i) - P(y)/((-1/2) +3/2 i)a
C'est cela ? Et après je simplifie...
re : Divsion euclienne Posté le 02-11-07 à 14:35
Posté le 02-11-07 à 14:35Posté par Cauchy Cauchy
Ca doit faire intervenir ybarre normalement tes deux équations sont:
aj+b=P(j)
ajbarre+b=P(jbarre)
Laisse j sous cette forme pour pas compliquer les calculs.
Tu dois résoudre ce système.
Cauchy CauchyCa doit faire intervenir ybarre normalement tes deux équations sont:
aj+b=P(j)
ajbarre+b=P(jbarre)
Laisse j sous cette forme pour pas compliquer les calculs.
Tu dois résoudre ce système.
re : Divsion euclienne Posté le 02-11-07 à 14:58
Posté le 02-11-07 à 14:58Posté par Joffrey25 Joffrey25
Ok merci. Donc ca donne :
P(j) = aj+P(jbarre)-ajbarre
C'est bien cela et ensuite j'exprime en fonction de a et je faisde mee pour b...
Merci de confirmer.
Joffrey25 Joffrey25Ok merci. Donc ca donne :
P(j) = aj+P(jbarre)-ajbarre
C'est bien cela et ensuite j'exprime en fonction de a et je faisde mee pour b...
Merci de confirmer.
re : Divsion euclienne Posté le 02-11-07 à 20:44
Posté le 02-11-07 à 20:44Posté par Joffrey25 Joffrey25
Ok merci. Ca donne donc :
P(j)-P(jbarre) = a(j-jbarre)
Donc a = P(j)-P(jbarre)/(j-jbarre)
Pour b on a :
b= P(jbarre)/(P(j)-P(jbarre)/(j-jbarre))*jbarre
C'est juste ?
Joffrey25 Joffrey25Ok merci. Ca donne donc :
P(j)-P(jbarre) = a(j-jbarre)
Donc a = P(j)-P(jbarre)/(j-jbarre)
Pour b on a :
b= P(jbarre)/(P(j)-P(jbarre)/(j-jbarre))*jbarre
C'est juste ?
re : Divsion euclienne Posté le 03-11-07 à 14:29
Posté le 03-11-07 à 14:29Posté par Cauchy Cauchy
Pour a ok, pour b bien tu n'as qu'a remplacer dans aj+b=P(j) je suppose que tu devrais être capable seul de voir si ton b convient(si tu en es pas convaincu remplace dans les deux équations pour vérifier).
Cauchy CauchyPour a ok, pour b bien tu n'as qu'a remplacer dans aj+b=P(j) je suppose que tu devrais être capable seul de voir si ton b convient(si tu en es pas convaincu remplace dans les deux équations pour vérifier).
re : Divsion euclienne Posté le 03-11-07 à 16:57
Posté le 03-11-07 à 16:57Posté par Cauchy Cauchy
Bien P(j) et P(jbarre) on les connait pas donc dur de simplifier, après tu peux dire que=\sqr{3})
Cauchy CauchyBien P(j) et P(jbarre) on les connait pas donc dur de simplifier, après tu peux dire que
re : Divsion euclienne Posté le 03-11-07 à 20:50
Posté le 03-11-07 à 20:50Posté par Joffrey25 Joffrey25
Ok merci bien Cauchy.
Après je dois montrer que :
P(j) appartient à[j] tu n'aurais paas une idée stp car je pense qu'il faut le calculer non ?
Joffrey25 Joffrey25Ok merci bien Cauchy.
Après je dois montrer que :
P(j) appartient à
[j] tu n'aurais paas une idée stp car je pense qu'il faut le calculer non ?re : Divsion euclienne Posté le 03-11-07 à 21:18
Posté le 03-11-07 à 21:18Posté par Cauchy Cauchy
Sers-toi du fait que Z[j] est stable par multiplication(question b) ).
D'ailleurs ta justification en b) est un peu fumeuse tu as fais cela avec i parce que j² n'est pas égal à -1.
Cauchy CauchySers-toi du fait que Z[j] est stable par multiplication(question b) ).
D'ailleurs ta justification en b) est un peu fumeuse tu as fais cela avec i parce que j² n'est pas égal à -1.
re : Divsion euclienne Posté le 03-11-07 à 22:03
Posté le 03-11-07 à 22:03Posté par Joffrey25 Joffrey25
Exact. Donc ca donne :
zx =(a+jb) (a'+jb')
zx = aa'+ab'j+jba'+j^2bb'
Mais après ca change tout non ? Et je neux pas retrouver une forme A+jB ?
Joffrey25 Joffrey25Exact. Donc ca donne :
zx =(a+jb) (a'+jb')
zx = aa'+ab'j+jba'+j^2bb'
Mais après ca change tout non ? Et je neux pas retrouver une forme A+jB ?
re : Divsion euclienne Posté le 03-11-07 à 22:05
Posté le 03-11-07 à 22:05Posté par Cauchy Cauchy
Si tu peux car tu sais l'équation du second degré que vérifie j, en particulier tu sais exprimer j² sous cette forme.
Cauchy CauchySi tu peux car tu sais l'équation du second degré que vérifie j, en particulier tu sais exprimer j² sous cette forme.
re : Divsion euclienne Posté le 03-11-07 à 22:11
Posté le 03-11-07 à 22:11Posté par Joffrey25 Joffrey25
Ah oui en effet merci bien. Ca me donne j^2 =-j-1.
On a donc :
zx = aa'+ab'j+jba'+j^2bb'
zx = aa'+ab'j+jba'+-jbb'-bb'
zx = aa'-bb'+j(ab'-bb'+ ba')
zx = A +jB
Merci bien. Je vais essayer de chercher pour montrer que P(j) appartient à Z [j]
car sur le coup je ne vois pas trop.
Bonne soirée et à demain peut etre.
Joffrey25 Joffrey25Ah oui en effet merci bien. Ca me donne j^2 =-j-1.
On a donc :
zx = aa'+ab'j+jba'+j^2bb'
zx = aa'+ab'j+jba'+-jbb'-bb'
zx = aa'-bb'+j(ab'-bb'+ ba')
zx = A +jB
Merci bien. Je vais essayer de chercher pour montrer que P(j) appartient à Z [j]
car sur le coup je ne vois pas trop.
Bonne soirée et à demain peut etre.
re : Divsion euclienne Posté le 03-11-07 à 22:13
Posté le 03-11-07 à 22:13Posté par Cauchy Cauchy
Tu as essentiellement fais le boulot la, tu sais que P est à coefficients dans Z et tu connais les puissances de j
Cauchy CauchyTu as essentiellement fais le boulot la, tu sais que P est à coefficients dans Z et tu connais les puissances de j
re : Divsion euclienne Posté le 04-11-07 à 15:27
Posté le 04-11-07 à 15:27Posté par Joffrey25 Joffrey25
Merci mais là je sèche, j'ai beau chercher, je ne vois pas dans quelle direction aller...
Joffrey25 Joffrey25Merci mais là je sèche, j'ai beau chercher, je ne vois pas dans quelle direction aller...
re : Divsion euclienne Posté le 04-11-07 à 21:43
Posté le 04-11-07 à 21:43Posté par Cauchy Cauchy
Ecris les hypothèses et ce que tu veux montrer(ce que ça veut dire d'être dans Z[j]). Prends P quelconque à coefficients dans Z(écris moi ça ressemble à quoi), ensuite écris P(j).
Cauchy CauchyEcris les hypothèses et ce que tu veux montrer(ce que ça veut dire d'être dans Z[j]). Prends P quelconque à coefficients dans Z(écris moi ça ressemble à quoi), ensuite écris P(j).
re : Divsion euclienne Posté le 17-11-07 à 22:26
Posté le 17-11-07 à 22:26Posté par Joffrey25 Joffrey25
Rebonjour Cauchy,
J'ai bvien calculé le reste au moyen de P(j) et de P(jbarre) mais montrer que P(j) appartient à Z[j] je ne vois pas trop car on l'a un peu démontrer auparavant... Merci d'avance. Je dois rendre de DM Lundi...
Joffrey25 Joffrey25Rebonjour Cauchy,
J'ai bvien calculé le reste au moyen de P(j) et de P(jbarre) mais montrer que P(j) appartient à Z[j] je ne vois pas trop car on l'a un peu démontrer auparavant... Merci d'avance. Je dois rendre de DM Lundi...
re : Divsion euclienne Posté le 18-11-07 à 21:10
Posté le 18-11-07 à 21:10Posté par Joffrey25 Joffrey25
J'ai trouvé la solution. Par contre j'ai un souci avec la dernière question qui est :
Pour finir je dois trouver deux éléments de Z[j]\Z dont le produit vaut 3. Merci d'avance pour votre aide.
Je précise que la question précédente était soit (x,y) appartiennent à Z[j]^2, y Différent de 0, montrer quil existe (u,v) appartient à Q^2 tes que x/y = u +vj.
J'ai réussi cette question.
Joffrey25 Joffrey25J'ai trouvé la solution. Par contre j'ai un souci avec la dernière question qui est :
Pour finir je dois trouver deux éléments de Z[j]\Z dont le produit vaut 3. Merci d'avance pour votre aide.
Je précise que la question précédente était soit (x,y) appartiennent à Z[j]^2, y Différent de 0, montrer quil existe (u,v) appartient à Q^2 tes que x/y = u +vj.
J'ai réussi cette question.
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