pt fixe dans un e.m compact

Posté par popo21 popo21

Soit (E,d) un espace metrique compact et f: (E,d)->(E,d) telle que quelque soit x et y appartenant a E :
x different de y entraine d(f(x),f(y))<d(x,y)
Montrer que f admet un unique pt fixe


J'ai supposer l'existence de points fixes et j'ai montrer que f en admetter au plus un.

Mais je n'arrive pas a montrer que f en admet un et je sais pas dans quelle direction chercher.
Si quelqu'un a une piste sa serait simpas.Merci

Posté par tize tize

Bonjour,
déjà tu peux remarquer que f est continue (cela servira plus tard...)
ensuite pose et ainsi que et comme E est compact prends des sous suites convergentes...

Posté par Rodrigo Rodrigo

Peut etre plus simple note que x->d(x,f(x)) est continue sur un compact, soit l son minimum atteint en un certain x, soit l=0 c'est fini, soit l>0 mais alors d(f(x),f²(x))<d(f(x),x)=l, contradiction.
Quant à l'unicité pas de problème....

Posté par popo21 popo21

Merci pour vos reponse alors j'ai essayer les 2 methode dans celle de tize mais j'aimerai aussi y arriver par l'autre methode j'ai bien compris ce qu'il fallait faire mais le pb c'est que j'arrive pas a montrer que la fct  x->d(x,f(x)) est continu??
J'ai essayer en prenant ttes les definition de la convergence( ac les boules les majorations...) mais impossible.
Si quelqu'un sait comment s'y prendre sa m'aiderai bien.
Merci

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

Elle est composée de fonctions continues!

Posté par popo21 popo21

mais on ne dit pas dans l'ennoncer que f est continu....

Posté par Rodrigo Rodrigo

f est continue car lipshitzienne!