Forum des énigmes mathématiques :
DEFI 189 : Un p''tit cube...

Bonjour à tous,

Un "apéricube" (cube de 17 mm d'arête) est tranché selon un plan perpendiculaire à une de ses diagonales. (Il s'agit d'une grande diagonale [AB], pas d'une diagonale de face. A est par exemple le point en bas à gauche de la face de devant et B le point en haut à droite de la face de derrière.)

La section de ce plan avec le cube est un hexagone et elle coupe l'arête supérieure de la face de devant à 5,6 mm du sommet en haut à gauche de cette même face.



Quel est le périmètre de l'hexagone ?

Bonne réflexion.

minkus

Si on tient compte des symétries, on s'aperçoit que les intersections du plan avec les 6 faces sont des triangles rectangles isocèles, dont les côtés successivement x et 17-x.
Le périmètre est donc égal à :
P = 3*17*2 = 72,12 mm
A noter que le périmètre est constant dès l'instant où l'intersection est un hexagone (et non un triangle).

Bonjour,

en fait, je crois bien qu'on peut montrer que le périmètre de l'hexagone est constant quelle que soit la position du plan.

Le périmètre est égal à :

Bonjour,

sauf erreur le périmètre de la section hexagonale ne dépend pas de la distance au sommet (5,6 mm)...
ainsi en se ramenant au cas limite d'une section hexagonale réduite à un triangle équilatéral dont chacun des côtés est la diagonale d'une face du cube (de longueur où a est l'arête du cube),
on obtient un périmètre de soit .

Merci pour l'énigme.

Bonjour,

Je trouve que le périmètre de cet hexagone est de mm, soit avec une valeur arrondie 72,125 mm.

L'hexagone est composé de 3 côtés de mm et de 3 côtés de mm.

Merci pour le défi.

on a 3 grandes longueurs et 3 petites longueurs

grandelongueur=V2*(17-5,6)
petitelongueur=V2(5,6)

donc le perimetre: V2(51)mm

Je trouve un périmètre de 51√2 mm 72,125 mm.

Bonsoir,

D'après mes calculs, le plan normal au vecteur AB(17 ; 17 ; 17) passant par P(5,6 ; 17 ; 0) a pour équation x + y + z = 22,6.
Ce plan coupe :
- l'arête droite de la face avant au point Q(17 ; 5,6 ; 0)
- l'arête basse de la face latérale droite au point R(17 ; 0 ; 5,6)
- l'arête basse de la face arrière au point S(5,6 ; 0 ; 17)
- l'arête gauche de la face arrière au point T(0 ; 5,6 ; 17)
- l'arête haute de la face latérale gauche au point V(0 ; 17 ; 5,6)

Les segments QR, ST et VP ont pour longueur 5,62.
Les segments PQ, RS et TV ont pour longueur (17 - 5,6)2.

Le périmètre de l'hexagone PQRSTV est donc :
3 * 5,62 + 3 * (17 - 5,6)2 = 512

Bonjour

Entre les deux plans figurés en rouge, peu importe la position du plan de coupe :

Le périmètre de l'hexagone est constant et il vaut trois diagonales d'une face du cube.
On le voit en développant deux côtés consécutifs de l'hexagone :

Ici, ce périmètre vaut :
3172 = 51 2 72,12 mm.

Cordialement
Frenicle

Bonsoir

Ma réponse est 512 mm

merci pour l'énigme

bonjour Minkus
51 mm * racine carrée de 2, environ 72,125 mm
les côtés sont les hypoténuses de triangles rectangles isocèles, dont trois sont de côté 5,6 et trois de côtés 11,4
tout autre point de départ sur la même arête conduit à la même solution

.
.
salut alors le perimetre de l'hexagone... (11.4/cos45)*3 + (5.6/cos45)*3 soit envron 72.12 mm?
.
.

Bonjour,

ce n'est pas un hexagone régulier à priori vu la position du point à 5,6 mm d'un sommet.

Son périmètre est néanmoins égale à 6 x ( 17 / 2 ) x 2 =

Merci Minkus et à bientôt, Kiko21.

Avec Pythagore, je calcule a²=5,6²+5,6² ce qui donne a=(28/5)*racine(2)
b²=(17-5,6)²+(17-5,6)² ce qui donne a=(57/5)*racine(2)

perimetre hexagone = 3(a+b) = 51*racine(2)

Périmètre : 72,1248917 mm
A+
Torio

Bonjour,

Ma réponse:
3[(2*5.6²)^1/2+(2*(17-5.6)²)^1/2] 72.125 mm.

Image, en projection sur le plan perpendiculaire à la diagonale:

A+,
gloubi

L'hexagone a même périmètre quelle que soit sa position et ce périmètre est égal à celui du triangle équilatéral formé par trois diagonales de faces, dans le plan perpendiculaire à une grande diagonale du cube; soit 3*17*rac(2)=72,125 mm

L'hexagone aura trois petits côtés de mesure 5.6 *2 et trois grands côtés de mesure (17-5.6)* 2 soit au total 51*2 que l'on peut arrondir à 72.1 mm

Tous les hexagones issus d'une section avec un plan orthogonal à [AB] ont le même diamètre.

Je passe les démonstrations...

J'obtiens donc 32 * coté

soit 17 * 3 * 2 = 72 mm environ

17mm

salut!

je trouve un pérmimètre de 72.126 mm

en esperant pas m'être trompé..

@ plus, Chaudrack

Re-salut

Petit dessin 3D pour bien visualiser le dit-hexagone



@ plus, Chaudrack

Bonjour,




indépendant de la position du plan le long de l'axe (pour autant que l'intersection reste un hexagone) car les cotés de celui-ci sont proportionnels à parts égales à 'a' et 1-'a', avec 'a'=rapport entre la position du point d'intersection (5.6 dans l'énoncé) et la longueur du coté (17).

Salut !

Un apéricube au jambon avec un hexagone de 33.6 *cm s'il te plaît !

Bonjour , je pense que le périmétre de l'hexagone est :

P = (7,92 x 3) + (16,12 x 3) = 72,12mm

(je passe tous les détails)

Bonjour
Le périmètre devrait être = 3.2.5,6 + 3.2.11,4
= 3*2(5,6+11,4) =3*2*17=2*51

=72,124892

A+

Bonjour,
Le périmètre de l'hexagone:
512 mm.
Merçi pour l'énigme.

Soit ACHF la face avant  du  cube (C en bas à droite) et EDBG la face arrière (D au-dessous de B).
Les 3 plans AFBD, AEBH, ACBG contiennent tous la droite AB.
Si un point appartient à la section étudiée, son symétrique par rapport à l'un de ces 3 plans lui appartient aussi.
Soit I le point de la section situé sur FH.
Le symétrique de I par rapport à EBHA est un point K sur HC. La distance HK vaut 17-5,6.
Le côté IK de la section mesure (17-5,6).racine(2).
Le symétrique de K par rapport à CBGA est un point L sur CD à 5,6 mm de C.
Le côté KL de la section mesure 5,6.racine(2).
En réitérant, on trouve M sur DE puis N sur EG puis J sur FG et enfin on retombe sur I.
La section cherchée est donc bordée par l'hexagone IKLMNJ.
Le périmètre de cet hexagone mesure 3.((17-5,6)+5,6).racine(2)=51.racine(2).
Cette longueur ne dépend donc pas de la position de I sur le segment FH.
On peut vérifier en considérant le cas limite où I est en F. La section est alors le triangle  FCE.

je suis pas sur car je n'y ai pas trop pris de temps pour y réfléchir mais je pense que le total doit faire un nombre comme 72.12489168.........
je continu pour voir si j'ai tord (parce que je pense avoir tord )

Bonsoir
mm (si on remet bout à bout les segments constituant cet hexagone, on a 3 diagonales de faces)

bonjour !
pour trouver le périmètre de l'hexagone il faut connaitre sa surface. car le périmètre est égale à surface divisée par la moitié de l'arète.autrement dit P = S / 1/2a
tout d'abord cherchons la surface d'un triangle: st = B*h/2 soit s = 17*5.6/2
St = 47,6 mm²
soit S la surface de l'hexagone donc s= 6*47.6
                                     S= 285,6 mm²
ainsi le périmètre de l'hexagone est : P = S/1/2a
Application numérique = 285,6:1/2*17
                      P = 33,6 mm  

56,27mm

Salut,

L'apéro est terminé. La solution est en effet indépendante de l'emdroit où on coupe.

Bravo à tous ceux qui ont illustré leur solution.

minkus

bravo a tous ceux qui ont trouvé! et bravo aux superbes réalisations 3D

Serait t-il possible d'afficher le résultat de tous les participants ?

citation :
Serait t-il possible d'afficher le résultat de tous les participants ?

Pourquoi dis-tu ça ? Ils sont tous affichés ...

Euh non !! Escusez moi je parle "du classement"

Il suffit de cliquer ...

Je sais justement on voit seulement notre score et pas celui des autres

Il suffit de demander le bon mois :

à ok ! Tou le monde à que 2 points ?

Il faut que tu lises ceci avec attention :

Pour l'instant, une seule énigme du mois de novembre a été corrigée, il en reste 3 autres. Patience ...

ok ! Merci de vos éclaircissements ! Je tnter de patienter..

Ps : est-ce que je vous dérange si je vous demande de jeter juste un petit coup d'oeil , merci ce serait vraiment très sympas de votre part Jamo

bonjour les gens,,

pour ma part, j'ai juste effectué une rotation 3D dans ma tete ce qui m'a amené à penser que la diagonale  du cube coupais ce cube avec un angle de 45°
ensuite j'ai supposé que l'éxagone de l'apéricube etait régulier (encore dans ma tête tout ca lol) alors j'ai calculé la longueur projeté d'un segment :
cos45 x 17 = 12,02081528.....

et je l'ai multiplié par 6 pour obtenir le périmètre :
12,0208......x 6 = 72,12489
arrondit à 72,125 mm

ma reflexion est simpllissime je trouve et bravo à toutes et à tous !

Bonjour kyle_
Je pense que cette démarche fonctionne étant donné que peu importe la position du plan de coupe, le périmètre de l'hexagone est constant... comme l'a si bien dit frenicle.
Donc en choisisant le cas où l'éxagone de l'apéricube etait régulier, tu as pris un autre plan qui donnait la meme réponse...
mais je crois que pour avoir une démarche complère ( ou plutot parfaite ) il aurait fallu démontrer d'abord que tout les plan étaient équivalent, et ensuite prendre la cas de l'hexagone régulier...
en tout cas, bien pensé!
Mathieucote

Bonjour!

Je crois que personne l'a prouvé, mais comment montre-t-on que le périmètre de l'hexagone provenant de la coupe d'un cube reste constant?

Si a est le coté du cube, et si l'hexagone coupe une arete à une distance x d'unsommet, donc à une distance a-x de l'autre sommet de l'arete, les cotés de l'hexagone auront alternativement des longueurs de xr*ac(2) et (a-x)rac(2), donc un périmètre de 3a*rac(2) qui est bien indépendant de x...