Salut

pour la première question, il y a une application plus ou moins célèbre qu'on utilise:

Essaie de montrer que est une bijection de IN² vers IN

Bonjour,

Pour N² <-> N, tu as la démonstration classique à la Cantor, avec la numérotation  en diagonale, genre :
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)...
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5)...
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5)...
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5)...
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5)...
...
Et tu classes les paires de N² en diagonale, je te fais les premières, tu comprendras immédiatement la logique :
(1,1) (1,2) (2,1) (3,1) (2,2) (1,3) (1,4) (2,3) (3,2) (4,1)...
Autrement dit, d'abord tous les couples dans la somme vaut 2 (il n'y en a qu'un seul), ensuite tous les couples dont la somme vaut 3, en les classant par rapport à un des éléments (ici le premier), etc. Il est alors évident que tout couple peut être atteint au bout d'un nombre fini de couples de ce classement, donc on peut les numéroter, donc N² <-> N
NB Si au lieu de couples tu considères des fractions, tu as démontré Q <-> N

Pour la seconde, attention, l'application z -> exp(z) est injective, mais je n'en dirais pas autant de l'application réciproque z -> Ln(z) qui est multiforme, donc il faut y regarder de près, ce que je vais faire maintenant...

ca suffit de faire les couples?
et l'enoncé disait montrer que et 2 sont en bijection je ne sais pas si c'est la meme chose!

Il faut que tu construises une bijection, soit par un procédé d'énumération, ce que Cantor a fait, soit avec une formule explicite, ce que monroe te propose.
Tout est valable à condition que tu démontres proprement que c'est une bijection.

En fait, c'est la même chose ! Essaye de calculer la position d'un couple.
Ce couple est sur une diagonale. La somme du nombre de couples des diagonales précédentes est de la forme 1+2+3+4... Et ça va te donner le terme (x+y)(x+y+1)/2, et le x c'est le positionnement dans la diagonale courante.
Donc la formule proposée par monroe c'est l'explicitation de la méthode de Cantor.

d'accord d'accord je vais essayer ca!Et pour la seconde question est ce que je suis sur la bonne piste?

En tout cas merci pour vos explications,j'ai compris(ce qui est important) et ca marche!!Quand on nous demande montrer une bijection d'un ensemble vers un autre ensemble on doit connaitre par coeur les formule explicite (comme monroe a donnée) ou on peut les trouver par un autre moyen?
Une derniere question je dois trouver le nombres de relation d'equivalence sur E(ensemble fini de cardinal n)...Le prof nous a donné des indications mais elles m'embrouillent encore plus...

Pour tous n; p ¸ 1 soit n;p le nombre de relations d'equivalence sur E comportant
p classes. Si p > n on a n;p = 0. Montrer que n;p verifie la relation de recurrence suivante :
n;p = n-1;p-1 + pn-1;p
pour tout n et tout p ¸ 1.
J'arrive a faire l'initialisation mais je bloque pour l'heredité(tout ca est un peu abstrait pour moi et j'ai beaucoup de mal!!)
Désolée de vous posez plusieurs questions mais ce sont les difficultés que je rencontre quand j'avance dans mon dm!
merci d'avance!

Pour la seconde question, de ton premier problème, C = exp(C), tu as déjà évidemment exp(C) C, donc il reste à montrer la réciproque, soit C exp(C). Pour ça, tu considères un Z = A+iB quelconque de C et tu cherches s'il existe (au moins) un z = a+ib de C tel que Z = exp(z). La réponse est oui, le cas général est a = racine(A²+B²) et b = Arctan(B/A).
Je te laisse discuter le cas particulier A = 0...

Je regarde la suite et j'essaye de te répondre dans la journée (faut bien que je bosse aussi un peu pour mon boulot )

Pour ta nouvelle question, tu sais qu'il existe une bijection canonique entre les classes d'équivalence sur un ensemble et les partitions de cet ensemble.
Voir par exemple http://fr.wikipedia.org/wiki/Relation_d'%C3%A9quivalence
L'idée serait alors de compter les partitions d'un ensemble de n éléments en p classes, c'est ton phi(n;p). Pour ça, tu considères un élément arbitraire à l'ensemble. Tu comptes les partitions en p-1 classes qui ne contenaient pas cet élément, ça doit être phi(n-1,p-1). Puis tu ajoutes l'élément que tu as isolé, et tu vois combien de partitions supplémentaires il génère, ça devrait être phi(n-1,p). Enfin, tu te rappeles que tu as isolé 1 élément sur n, donc tu ajoutes n fois ce dernier nombre pour trouver le nombre total de faire p partitions parmi n éléments, c'est ton phi(n;p). D'ailleurs j'ai l'impression qu'il y a une erreur dans ta formule, il me semble que ça devrait être :
phi(n;p)=phi(n-1;p-1)+n.phi(n-1;p)
Il faudrait préciser tout ça, je continue à y réfléchir...

Bonjour

J'interviens à propos de l'exponentielle. Elle n'est pas injective, car périodique de période 2i. On sait que exp(z)0, et on montre que exp()=^*.

Merci Camelia, j'avais effectivement tiré un peu vite plus haut.
Pour zoustine :
On a effectivement exp(C) inclus dans C, ça c'est une évidence, mais on n'a pas C inclus dans exp(C), la seule exception étant 0 qui correspond au cas A=B=0 plus haut, ou Arctan(B/A) n'existe pas.
Comme Camélia le fait remarquer, exp(z) est toujours différent de 0, donc exp(C) est non seulement inclus dans C mais même dans C^*.
Récipoquement tout élément de C sauf 0, donc tout élément de C^* est l'image par la fonction exp() d'un élément de C, donc est inclus dans exp(C).
Finalement exp(C)=C^*.

Bonjour,

Pourriez vous expliciter on montre que "exp(C)= C^*" ?

Merci d'avance.

C'est ce que j'ai fait juste au dessus, l'image de C par l'application exponentielle c'est C privé de l'élément 0.

Désolée de ne réagir que maintenant...
Pour LeHibou, "D'ailleurs j'ai l'impression qu'il y a une erreur dans ta formule" non non je confirme c'est bien la formule que j'ai sur mon devoir maison, je ne me suis pas trompée...
Par contre c'est vrai que je ne comprends pas tout a fait tes explications...