Bonjour,

Supposons que a et b existent.

On a l'égalité :

x³ - 5 = (x² - bx - a)(x + b) + (a + b²)x + ab - 5

Si l'on y remplace x par , il vient :

0 = (a + b²) + ab - 5, ce qui veut dire que est rationnel.

L'hypothèse est donc absurde.

Cordialement
Frenicle

Bonjour frenicle,

Citation :

Je crois que je viens de comprendre ta démarche,

pour passer du membre de gauche au membre de droite
on fait la division euclidienne de par .

Tu as choisi parce que
et parce que si .

Donc ces deux polynômes sont nuls pour cette valeur de ,
et donc le reste aussi, qui ne contient plus qu'un seul terme "combiné" avec des rationnels
et donc c'est plus facile pour trouver l'absurdité.

C'est bien ça?

Oui, c'est ça.
En fait, le polynôme x³ - 5 est le polynôme (non nul) de degré minimum à coefficients rationnels annulé par .
On dit que c'est le polynôme minimal de .
Donc un polynôme de degré inférieur ne peut pas annuler .
L'idée est bien de faire la division euclidienne de x³ - 5 par le polynôme de degré 2 qui serait soi-disant annulé par , pour aboutir à une contradiction..

ah d'accord, je vois le principe,
je ne connaissais pas cette notion de polynôme mnimal de nombre algébrique.

Merci Frenicle.

De rien