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Théorie des groupes ___ équations de classe

Posté par
fusionfroide
17-11-07 à 17:09

Salut

A montrer : Soit G un p-groupe. Alors Z(G) \neq\{1\}

Preuve :

En faisant opérer G sur lui-même, on a : |G|=|Z(G)|+\Bigsum_i (G:N(x_i))

Je ne comprend pas pourquoi (G:N(x_i)) \ge 2 ?

Merci

Posté par
otto
re : Théorie des groupes ___ équations de classe 17-11-07 à 17:13

Salut,
c'est quoi N(x_i) ?

Posté par
fusionfroide
re : Théorie des groupes ___ équations de classe 17-11-07 à 17:42

Salut

C'est le normalisateur

En fait c'est le stabilisateur de x_i qu'on appelle normalisateur pour l'action d'une groupe sur lui même par conjugaison, mais je ne t'apprends sûrement rien

Posté par klevia (invité)detail ... 17-11-07 à 17:46

Sans doute p est premier, non ?

Posté par
fusionfroide
re : Théorie des groupes ___ équations de classe 17-11-07 à 17:46

Oui bien-sûr mais je ne comprends toujours pas...peux-tu développer ?

Posté par
fusionfroide
re : Théorie des groupes ___ équations de classe 17-11-07 à 17:58

(G:N(x_i))=|\frac{G}{N(x_i)}|=\frac{|G|}{|N(x_i)|}=\frac{p}{|N(x_i)|}

Si (G:N(x_i))=1, alors p=|N(x_i)|

Pourquoi est-ce impossible ?.

Posté par
fusionfroide
re : Théorie des groupes ___ équations de classe 17-11-07 à 17:58

Ok car N(x_i) est un sous-groupe de G avec |G|=p

Posté par
fusionfroide
re : Théorie des groupes ___ équations de classe 17-11-07 à 17:59

Donc c'est bon



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