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Mini problème plus petit élément d'une partie de N
Bonjour,
Je bloque sur cet exercice :
Soit A une partie non vide de N, Ml'ensemble des minorants de A
1-Montrer que M est non vide
2-Montrer que l'implication Quel que soit n de N, n apartient à M => n+1 apartient à M est fausse
3-En déduire qu'il existe n0 de N, n0 appartient à M et n0+1 n'appartient pas à M
4- Montrer que n0 appartient à A
5- Montrer que n0 est le plus petit élément de A
pour 1) 0 appartient à M
3) c'est la réciproque de 2
pour le reste, je n'arrive pas à le trouver,
Merci de votre aide!
Bonjour
1) Oui
2) C'est le principe de récurrence. Si l'application était vraie, M serait égal à N. Absurde
Qu'est-ce qui te bloque ensuite?
Merci pour ton aide,
comment montrer que M
?
Bonsoir !
Parceque A est non vide, donc A contiens un element m et donc m+1 n'est pas dans M, qui est donc different de N.
Bonsoir Ksilver,
comment on peut conclure que m+1 n'est pas dans M?
(je crois qu'On doit d'abord vérifier M avant de conclure l'implication)
Merci de m'éclaircir !
ba je suis justement entrain de prouver que M est différent de N :
M c'est l'ensemble des minorant de A ! et m+1>m qui est dans A, donc m+1 n'est pas un minorant de A, donc m+1 n'est pas dans M.
Oui, je vois mnt!
merci Ksilver,
encore une question: comment montrer que n0 appartient à A (question 4) sachant que n0 appartient à M et n0+1 n'appartient pas à M ?
Salut !
si n+1 n'est pas dans M, cela signifie qu'il existe un a dans A telle que a<n (la négation de n+1 est un minorant de A..)
or n est un minorant de A, donc a>= n.
donc :
n<=a<n+1
d'ou a=n, et donc n est dans A.
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