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Endomorphisme unique de IR
Bonsoir 
unse simple question:
comment montrer que le corps a uniquement l'application identique comme endomorphisme?
Merci
Salut otto
je pense que c'est nécessaire que ça soit continu pour parcourir toutes les valeurs possibles de IR mais je sais pas comment l'exprimer et de montrer que c'est une condition suffisante
Bonjour,
non ce n'est pas évident que ce soit nécessaire.
Montre pour commencer que f(x) est toujours positif pour x positif.
Ensuite montre que f=id sur N, puis sur Z, puis sur Q et par ce que l'on a montré avant tu peux montrer la continuité et conclure.
C'est toujours le même genre de trucs. On ne sait pas vraiment conclure immédiatement, mais on essaie étape par étape. La première étape est N, la seconde est Z, elles sont en générales largement plus faciles. Le passage à Q utilise la propriété de morphisme d'anneaux et le passage à R celle de continuité.
Je suppose alors f un endomorphisme
on a: f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0) donc f(0)=0.
Donc maintenant je dois montrer que pour tout n de IN f(n)=n
par récurrence (forte?), on a f(0)=0 supposon f(n)=n et mq f(n+1)=n+1
f(n+1)=f(n)+f(1)=n+1 donc f(n)=n pour tout n de IN
On passe à Z: on a f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)=0
donc f(-x)=-f(x) pour tout x de IR
En utilisant le fait que f(n)=n pour tout n on aura: f(-n)=-f(n)=-n pour tout n de Z
et là je bloque
comment passer à Q ?
Salut !
enfait tu à montrer que f(n)=n, mais tu aurait put directement montrer, exactement de la meme facon que f(nx)=nf(x) non ?
applique ensuite cela a x=p/q et n=q...
Salut Ksilver !
je suppose f(nx)=nf(x) et je montre que f((n+1)x)=(n+1)f(x)
f((n+1)x)=f(nx+x)=f(nx)+f(x)=nf(x)+f(x)=(n+1)f(x)
Soit x de Q. Il existe p et q de ZxZ* tel que x=p/q on a x=p/q f(p)=p=f(qx)=qf(x) donc f(x)=p/q=x
donc f(x)=x pour tout x de Q
et pour IR? 
Pour R, tu prends un réel x, et tu veux montrer que f(x)=x.
Alors tu considères une suite de rationnels qui croit et tend vers x, et une autre qui décroit et qui tend vers x.
Par exemple, tu peux choisir la suite des décimales de x comme suite inférieure et la suite des n premières décimales de x + 1/10^n comme suite supérieure.
Ce sont bien deux suites adjacentes.
un petit mot la dessu quand meme.
quand on a une fonction vérifiant f(x+y)=f(x)+f(y), on aimerait bien montré que en réalité f(x)=c*x. mais ce n'est pas toujours pas le cas.
pour montrer ceci il faut une hypothese suplaimentaire : par exemple f continu, f continu en un point, f monotone, f borné au voisinage d'un point, ou encore f intégrable au sens de lebesgue (bon le dernier est vraiment tres technique à prouver...).
ici on va montrer que f est monotone.
as tu prouvé que f(x) >0 des que x>0 ? tu peut alors en déduir que f est croissante.
à partir de la pour tous réel x, si on prend des rationelle r et r' telle que r<x<r', on a par monotonie de f r<f(x)<r'
en faisant tendre r et r' vers x, on conclue que f(x)=x !
ok si on considère qu'ils existent (c'est même la construction de IR à l'aide des suites de cauchy, non?) alors comment on va l'exploiter pour montrer que f(x)=x? 
stp otto, j'ai pas utilisé ton indication: Montre pour commencer que f(x) est toujours positif pour x positif., où va-t-on l'utiliser?
ben tu sais que pour tout , il existe une suite de rationnels
et une suite de rationnels
qui ont pour limite
et telles que
croit et
décroit.
Ca peut se montrer de manière explicite:
en prenant les suites et
par E(a) j'entends la partie entière inférieure de a
et par F(a) j'entends la partie entière supérieure de a.
Sinon de manière moins explicite, à l'aide du fait que Q est dense dans R,
tu peux prendre une suite de réels qui tend en croissant vers x,
et pour chacun des termes de la suite tu peux trouver un rationnel aussi près que tu veux de ce terme,
et construire ainsi une suite de rationnels croissante qui tend vers x.
Et tu peux faire pareil ppour trouver une suite de rationnels décroissante qui tend vers x.
si on considère qu'ils existent (c'est même la construction de IR à l'aide des suites de cauchy, non?)
la manière pas explicite vient de ça.
Ok
Je montre que f est positive dès que x est positif:
On prend x>=0, f(x)=f((rac(x))²)=(f((rac(x)))²>0
Maintenant on montre que f est croissante:
on prend x et y tel que x<=y on doit montrer que f(x)<=f(y)
Or f(y)-f(x)=f(y-x) avec y-x>=0 donc f(y)-f(x)>=0 d'où f(x)<=f(y)
Voilà elle est croissante.
x est la limite des deux suites adjacentes définies par otto ou bien rou (), donc: r_n<x<r_n' avec f croissante donc: f(r_n)<f(x)<f(r_n')
Or r_n et r_n' sont des suites de rationnels donc r_n<f(x)<r_n'et après? comment on tendre vers +oo alors que les suites ont une variable n et f(x) a x comme variable? 
On prend x>=0, f(x)=f((rac(x))²)=(f((rac(x)))²>0
c'est plutôt On prend x>=0, f(x)=f((rac(x))²)=(f((rac(x)))²>=0
ah oui je comprend mieux!
c'est bon f(x)=x pour tout x de IR
Merci beaucoup pour votre aide
En fait une petite question, cette propriété n'est plus valable pour C?
il me semble que fractal a posé cette question il n'y a pas longtemps, il faudrait faire une recherche 
Ok j'essaierai de le trouver
Merci bcp romu, tu m'as sauvé dans plusieurs topics!
Merci aussi à otto et Ksilver
il me semble que fractal a posé cette question il n'y a pas longtemps, il faudrait faire une recherche
Oui en effet, il se demandait s'il y avait un rapport avec la dimension de l'e.v. Sinon, sur C, on dispose de la conjugaison donc non.
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