definition d'une norme sur Sn

Posté par saralou saralou

A appartenant à Mn    x,y vecteurs colonnes
f: x -> |< Ax,x >| produit scalaire < x,y > = somme [x][/i][y][/i]

question : montrer que f est bornee sur la boule unite de E       E bon
           constituee des vecteurs x tq  ||x||< 1

je sais que f bornee <=> il existe r>0 tq norme(f(x))< r
                         cad  ||x||< 1
je comprend pas ce qu'il faut prouver

Posté par jeanseb jeanseb

Bonjour

Il faut utiliser l'inégalité de Cauchy Schwarz, qui majore la valeur absolue du produit scalaire par le produit des normes. Comme chacune des normes est majorée par 1 sur la boule unité, les produits scalaires sont aussi majorés par 1.

C-S dit:

|<x;y>| ||x||.||y|| 1.1 = 1

donc |<x;y>| 1  donc borné sur la boule unité.

Posté par jeanseb jeanseb

Bon, j'ai pas regardé correctement l'énoncé...

Je ne sais pas quels sont tes prérequis. Je dirais:

f(x) =|< Ax,x >| est une application continue comme valeur absolue (ou module) d'un polynome du 2ème degré en x1....xn. Donc sur le compact (fermé borné)de Rn constitué par la boule unité, f est bornée et atteit ses bornes.

Donc f est bornée.

Ca te va?

Posté par saralou saralou

ok merci