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Norme d'une différentielle

   
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autreNorme d'une différentielle

#msg1452634 Posté le 20-11-07 à 13:54
Posté par Profilrobby3 robby3

Bonjour à tous,j'aurais besoin d'une petite aide...

On munit R² de la norme euclidienne.
Soit f:R²->R l'application définie par:

f(x,y)=(x+u)e^{-x^2-y^2}
1)Exprimer Df(x,y)
2)Déterminer ||Df(x,y)||

pour la 1) c'est bon,j'ai trouvé ceci:

Df(x,y)=e^{-x^2-y^2}.(1-2x^2-2xy+1-2y^2-2xy)=2e^{-x^2-y^2}(1-(x^2+y^2)-2xy)

et en fait pour la question 2) je sais pas s'il faut faire la norme euclidienne ou la norme des applications linéaires.
j'ai essayé la norme euclidienne mais ça donne un truc affreux meme en passant par les polaires...
Alors si quelqu'un voit quelque chose...
Merci d'avance.
re : Norme d'une différentielle#msg1452691 Posté le 20-11-07 à 14:16
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Bonjour robby3

Pour la 1) c'est pas bon; Tu cherches Df(x,y)(h,k) pour (x,y) fixé et (h,k) décrivant R2
Il s'agit certainement de la norme d'application linéaire. Tu cherches donc

\Large \sup_{||(h,k)||=1}\ |Df(x,y)(h,k)|
re : Norme d'une différentielle#msg1452936 Posté le 20-11-07 à 15:22
Posté par Profilrobby3 robby3

Alors,on a ça non?

Df(x,y).(h,k)=e^{-x^2-y^2}.(h(1-2x^2-2xy)+k(1-2y^2-2xy))

donc ||Df(x,y)||=Sup_{||(h,k)||=1} |Df(x,y).(h,k)|=??

\rm \le Sup_{||(h,k)||=1} |h|.\frac{|1-2x^2-2xy|}{e^{x^2+y^2}}+|k|.\frac{|1-2y^2-2xy|}{e^{x^2+y^2}}\le \frac{2+2(x^2+y^2)+4|xy|}{e^{x^2+y^2}}

re : Norme d'une différentielle#msg1452971 Posté le 20-11-07 à 15:30
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

En effet ce n'est pas très ragoutant!

Ne t'aurait-on pas démontré dans ton cours que si (h,k)=ah+bk, est une application linéaire de 2 euclidien dans la norme de l'application linéaire est égale à la norme euclidienne de (a,b)? En fait, tu es en train d'y arriver, mais c'est très compliqué, alors que le phénomène est général.
re : Norme d'une différentielle#msg1453038 Posté le 20-11-07 à 15:43
Posté par Profilrobby3 robby3

euhh non je ne crois pas...
mais la norme euclidiene de (a,b) ici elle m'a pas l'air belle du tout!!
quand tu dis norme euclidiene de (a,b) c'est bien racine de (a²+b²)?

re : Norme d'une différentielle#msg1453053 Posté le 20-11-07 à 15:46
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Oui.

Calcule le sup de acos t +bsin t!
re : Norme d'une différentielle#msg1453071 Posté le 20-11-07 à 15:53
Posté par Profilrobby3 robby3

Attend déjà:

a=e^{-x^2+y^2}.(1-2x^2-2xy)
b=e^{-x^2+y^2}.(1-2y^2-2xy)

tu veux que je calcule le sup de acos(t)+bsin(t) ??
re : Norme d'une différentielle#msg1453082 Posté le 20-11-07 à 15:57
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Non, je prétends que si tu as montré une fois pour toutes que

\sup_{||(h,k)||=1}|ah+bk|=\sup_{t\in\mathbb{R}}|a\cos t+b \sin t|=\sqrt{a^2+b^2}

ton problème serait résolu.
re : Norme d'une différentielle#msg1453128 Posté le 20-11-07 à 16:09
Posté par Profilrobby3 robby3

ok donc si a=rcos(t),b)rsin(t) on a bien la sup qui vaut r=racine(a²+b²)
re : Norme d'une différentielle#msg1453188 Posté le 20-11-07 à 16:26
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

je crois bien que oui!
re : Norme d'une différentielle#msg1453196 Posté le 20-11-07 à 16:30
Posté par Profilrobby3 robby3

et avec ça...??
j'en fais quoi avec mon exemple??
parce que je suis revenu au meme probleme,le sup vaut racine(a²+b²) avec a et b défini précédemment (post15:53)
donc c'est toujours aussi horrible!
re : Norme d'une différentielle#msg1453214 Posté le 20-11-07 à 16:35
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Alors, là, je n'en sais rien... commence les calculs, tu verras bien!
re : Norme d'une différentielle#msg1453229 Posté le 20-11-07 à 16:37
Posté par Profilrobby3 robby3


j'avais déjà fait les calculs...
Bon tans pis,je vais me débrouiller!
MERCI Camélia!!
re : Norme d'une différentielle#msg1454369 Posté le 20-11-07 à 20:48
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

il vient d'ou le message de 15:57 ??
re : Norme d'une différentielle#msg1454463 Posté le 20-11-07 à 21:15
Posté par Profilrobby3 robby3

la 2em et derniere égalité c'est juste un changement de variable...la premiere,du message de 15h30 de Camélia.
Mais je ne sais pas si on la vu en cours.
re : Norme d'une différentielle#msg1454479 Posté le 20-11-07 à 21:23
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

en faite on écrit h=rcos(t) et k=rsin(t) et on a r=1, ok.
mais pourquoi \sup_{t\in\mathbb{R}}|a\cos%20t+b%20\sin%20t|=\sqrt{a^2+b^2} ?
re : Norme d'une différentielle#msg1454621 Posté le 20-11-07 à 22:10
Posté par Profilrobby3 robby3

16:09
re : Norme d'une différentielle#msg1454627 Posté le 20-11-07 à 22:12
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

mais pourquoi?
re : Norme d'une différentielle#msg1454653 Posté le 20-11-07 à 22:20
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Mais pour montrer :
\sup_{||(h,k)||=1}|ah+bk|=\sup_{t\in\mathbb{R}}|a\cos%20t+b%20\sin%20t|=\sqrt{a^2+b^2}

moi je pose h=rcos(t) et k=rsin(t) non ??
re : Norme d'une différentielle#msg1454676 Posté le 20-11-07 à 22:31
Posté par Profilrobby3 robby3

moi perso,pour la 1er égalité,je poserais la meme chose sans les r.
pour la 2eme égalité je pose ce que j'ai dit a 16:09!
a=rcos(t)
b=rsin(t) tu vois alors que le sup ça fait r=racine(a²+b²)...

aprés peut-etre est-ce faux...mais c'est ce que je ferais.
re : Norme d'une différentielle#msg1456316 Posté le 21-11-07 à 18:18
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

re : Norme d'une différentielle#msg1456356 Posté le 21-11-07 à 18:26
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Je n'arrive pas à montrer le résultat énoncé par Camélia le 20/11/2007 à 15:30
re : Norme d'une différentielle#msg1457849 Posté le 22-11-07 à 14:27
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

En reprenant les notations du dit post et en notant < , > le produit scalaire et || || la norme euclidienne, en utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwartz on a

|\varphi(h,k)|=|<(a,b),(h,k)>|\leq ||(a,b)||\ ||(h,k)||

d'où déjà ||||||(a,b)||

Puis, plus simple que ce que je proposais:

\frac{|\varphi(a,b)|}{||(a,b)||}=||(a,b)||

d'où ||(a,b)||||||
re : Norme d'une différentielle#msg1458815 Posté le 22-11-07 à 20:46
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

on a bien \rm ||\phi||=sup_{||(h,k)||\le 1} \frac{|\phi(h,k)|}{||(h,k)|| ?

je ne comprend pas pourquoi pour montrer que ||(a,b)||\le ||\phi ||, on écrit |\phi(a,b)| ??
re : Norme d'une différentielle#msg1459780 Posté le 23-11-07 à 14:31
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Pourquoi pas?

Tu viens d'écrire que pour tout (h,k) on a
\frac{|\varphi(h,k)|}{||(h,k)||}\leq ||\varphi||

J'ai bien le droit de prendre (h,k)=(a,b), non?

La méthode générale pour calculer une norme d'application linéaire f:
1) trouver au pif k tel que ||f(x)||k||x|| pour tout x. Ceci assure ||f||k.

2) exhiber y tel que ||f(y)||=k||y||. Ceci assure k||f||.
Un tel y existe toujours en dimension finie, mais pas forcément en dimension infinie... Si tu ne le trouves pas en dimension finie, c'est que probablement le k trouvé en 1) et trop gros et que l'on peut améliorer la majoration.
re : Norme d'une différentielle#msg1467608 Posté le 26-11-07 à 10:36
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

mais ou intervient dans cette démonstration, le fait que \phi est linéaire ?
re : Norme d'une différentielle#msg1467690 Posté le 26-11-07 à 12:02
Posté par Profilrobby3 robby3

Le prof nous a donné la correction,il fallait calculer avec la norme euclidienne,mais le calcul un peu lourd ne se simplifie pas tant que ça...
Tu écris Df comme somme des dérivées partielles...et tu appliques la norme euclidienne.

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