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valeur propre , vecteur propre d'une matrice


maths supvaleur propre , vecteur propre d'une matrice

#msg1459241#msg1459241 Posté le 22-11-07 à 22:47
Posté par Bolzano (invité)

bonsoir a vous , je dois determiner les valeur propres et vecteurs propres possible de la matrice
  (5 7)
A=(7 8)
je vient de commencer le chapitre et je vois pa trop comment faire ? merci de bien vouloir me guider
bolzano
valeur propre , vecteur propre d'une matrice#msg1459269#msg1459269 Posté le 22-11-07 à 22:53
Posté par Profilraymond raymond Correcteur

Bonsoir.

As-tu appris à calculer le polynôme caractéristique ?
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re : valeur propre , vecteur propre d'une matrice#msg1459271#msg1459271 Posté le 22-11-07 à 22:54
Posté par Bolzano (invité)

oui c'est ce que j'ai fait en premier : je trouve x² -13 x  -9 le probleme c'est que je ne trouve pa de racine simple ..
re : valeur propre , vecteur propre d'une matrice#msg1459294#msg1459294 Posté le 22-11-07 à 22:57
Posté par Profilraymond raymond Correcteur

Je trouve le même résultat que toi. Il y a deux racines réelles distinctes qui effectivement ne sont pas "simples", mais les valeurs propres ne sont pas forcément des réels simples.
re : valeur propre , vecteur propre d'une matrice#msg1459297#msg1459297 Posté le 22-11-07 à 22:58
Posté par Bolzano (invité)

et ces racines que je peux determiné correspondent aux valeurs propres?
re : valeur propre , vecteur propre d'une matrice#msg1459304#msg1459304 Posté le 22-11-07 à 23:00
Posté par Profilraymond raymond Correcteur

Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique.
re : valeur propre , vecteur propre d'une matrice#msg1459308#msg1459308 Posté le 22-11-07 à 23:01
Posté par Bolzano (invité)

oki je te remercie de ton aide .c cool
re : valeur propre , vecteur propre d'une matrice#msg1459314#msg1459314 Posté le 22-11-07 à 23:02
Posté par Profilraymond raymond Correcteur

Une dernière chose : est-tu sur(e) de la matrice de ton énoncé ?
re : valeur propre , vecteur propre d'une matrice#msg1459326#msg1459326 Posté le 22-11-07 à 23:06
Posté par Bolzano (invité)

oui c'est bien  5 7  par contre ya un truc qui me turlupine comment je fais
                7 8
pour determiner les vecteurs propres car j'ai trouvé (13-sqrt(178)) /2et son homologue en + ..
re : valeur propre , vecteur propre d'une matrice#msg1459329#msg1459329 Posté le 22-11-07 à 23:07
Posté par Bolzano (invité)

comme valeurs propres ,( jai oublier de preciser)
re : valeur propre , vecteur propre d'une matrice#msg1459338#msg1459338 Posté le 22-11-07 à 23:11
Posté par Profilraymond raymond Correcteur

Moi je trouve :

3$\textrm r_1 = \fra{13+\sqrt{205}}{2} \ r_2 = \fra{13-\sqrt{205}}{2}

Tu cherches X(x,y) non nul tel que AX = r1X, puis X'(x',y') non nul tel que AX' = r2X'
re : valeur propre , vecteur propre d'une matrice#msg1459347#msg1459347 Posté le 22-11-07 à 23:15
Posté par Bolzano (invité)

a oui j'avais fait une erreur de calcul , oki ben je regarde sa et jpeux te renvoyer un message si je n'y arrive pas ou pour te montrer mes resultats?
re : valeur propre , vecteur propre d'une matrice#msg1459354#msg1459354 Posté le 22-11-07 à 23:17
Posté par Profilraymond raymond Correcteur

Essaie de faire les calculs en remarquant que le système que tu obtiens est par définition de rang 1, donc, tu peux te contenter de trouver une solution non nulle obéissant à la première équation.
re : valeur propre , vecteur propre d'une matrice#msg1459361#msg1459361 Posté le 22-11-07 à 23:21
Posté par Bolzano (invité)

ouic'est ce que jobtient : jobtient le vecteur ((-3+sqrt(205))/2 ;7)
re : valeur propre , vecteur propre d'une matrice#msg1459362#msg1459362 Posté le 22-11-07 à 23:21
Posté par Bolzano (invité)

pour r1
re : valeur propre , vecteur propre d'une matrice#msg1459377#msg1459377 Posté le 22-11-07 à 23:28
Posté par Profilraymond raymond Correcteur

Après avoir multiplié les coordonnées par 2 pour éviter les fractions, je trouve :

3$\textrm X = {14\choose 3+\sqrt{205}}

Pour l'autre :

3$\textrm X^' = {14\choose 3-\sqrt{205}}
re : valeur propre , vecteur propre d'une matrice#msg1459385#msg1459385 Posté le 22-11-07 à 23:31
Posté par Bolzano (invité)

oki jobtient la meme chose sauf ke jai gardé la fraction
ca veut dire que l'espace propre est l'ensemble formé par ces deux x trouvés?
E={X,X'}
re : valeur propre , vecteur propre d'une matrice#msg1459394#msg1459394 Posté le 22-11-07 à 23:38
Posté par Profilraymond raymond Correcteur

Non, cela signifie que :

Le sous-espace propre associé à la valeur propre r1 est la droite vectorielle engendrée par le vecteur X.

Donc : E(r1) = {k.X, k2$\in\mathbb{R}}

De même : E(r2) = {k.X', k2$\in\mathbb{R}}

Remarque que tes deux droites vectorielles sont orthogonales (ta matrice de départ est symétrique réelle).
re : valeur propre , vecteur propre d'une matrice#msg1459404#msg1459404 Posté le 22-11-07 à 23:43
Posté par Bolzano (invité)

a d'accord et tout matrice symetrique est diagonalisable donc sa marrange pour la suite
re : valeur propre , vecteur propre d'une matrice#msg1459407#msg1459407 Posté le 22-11-07 à 23:45
Posté par Bolzano (invité)

j'ai donc E(r1)=vect (X) et E (r2) = vect (X')
re : valeur propre , vecteur propre d'une matrice#msg1459410#msg1459410 Posté le 22-11-07 à 23:47
Posté par Profilraymond raymond Correcteur

Exactement.
re : valeur propre , vecteur propre d'une matrice#msg1459414#msg1459414 Posté le 22-11-07 à 23:52
Posté par Bolzano (invité)

bon ben jcroi que j'ai cerné le principe , en tout cas un grand merci a toi davoir pris de ton temps pour me guider bonne soiré ou nuit et encore merci
re : valeur propre , vecteur propre d'une matrice#msg1459421#msg1459421 Posté le 22-11-07 à 23:57
Posté par Profilraymond raymond Correcteur

Heureux d'avoir pu t'aider.

Bonne nuit. A plus RR.

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