Forum des énigmes mathématiques :
DEFI 192 : Le big bang.

Bonjour,

Prêts pour un peu de géométrie ?



Trois étoiles, A302, B47, et C112, occupaient en 1765 les positions A, B, C comme indiqué sur la figure ci-dessous :



Les astronomes ont observé qu'elles s'éloignaient les unes des autres, en restant dans un même plan, et en se déplaçant suivant des trajectoires rectilignes selon les directions indiquées sur le dessin, à une vitesse constante. Ainsi, tous les dix ans, l'étoile A302 parcourt la distance CA, l'étoile B47 la distance AB, l'étoile C112 la distance BC.

Lors de la dernière observation, elles occupaient les sommets A', B', C' d'un triangle d'aire 1027 fois supérieure à l'aire de ABC.

Quelle était l'année de cette dernière observation?

Bonne réflexion.

minkus

Les étoiles se sont éloignées chacune de 18.52 fois leur distance initiale. Elles auront mis 185.2 années. Et donc l'année d'observation est l'année 1950. Merci pour l'énigme !

Bonjour,

un peu de géométrie... cool !
A l'étape 1 le triangle A'B'C' est 7 fois plus grand que le triangle de départ ABC (classique).
Ensuite à l'étape n, on montre que le triangle AnBnCn est 3n(n+1)+1 fois plus grand que celui de départ,
il faut donc résoudre l'équation entière 3n(n+1)+1=1027 qui a pour solution n=18 (n=-19 exclue).

Au bout de 18 itérations (soit 180 années), le triangle formé sera 1027 fois plus grand ce qui nous amène à la date de (le big bang?).

Merci pour cette énigme très sympa.

Bonjour,

sans passer par les calculs, un petit coup de Geogebra montre qu'il faut k=18 cycles de 10 ans, donc :

1765+10*18=1945.

Donc la réponse est en 1945.

En utilisant les produits vectoriels on trouve k=18, donc l'année de la dernière observation est 1765+18*10=1945.

1868 je pense

bonjour Minkus
la dernière observation a eu lieu en 1945 (1765 + 10*18)
soit d le nombre de dizaines d'années entre deux observations
les aires de deux triangles ayant des angles égaux et supplémentaires sont proportionnelles aux produits de leurs côtés limitant ces angles
l'aire de chacun des triangles A'AB, B'BC et C'CA égale d(d+1) l'aire du triangle de ABC
3d(d+1)+1 = 1O27
d(d+1) = 342
d = 18

L'observation a été faite 180 ans plus tard, c'est à dire en 1945

Il est à remarquer que ces étoiles formaient aussi 190 ans avant 1765 un triangle de même surface qu'en 1945 , c'est à dire en 1575.

Même si je sais que ce n'est surement pas ça je vais quand même tenter ma chance!
Je dirai en 2278.
Qui ne tente rien n'a rien...

Encore une jolie énigme!
Comme pour l'énigme "Challenge n°80", on pourrait se ramener, en infligeant à la figure une transformation affine, au cas où le triangle ABC est équilatéral, mais, même dans ce cas simple, le calcul du rapport de similitude entre les triangles ABC et A'B'C' n'est pas immédiat.
Raisonnons donc directement. Le triangle ABC est quelconque.

Soit x le nombre d'années écoulées entre 1765 et la dernière observation.
Posons k=x/10.
distanceAA'=kdistanceAC.
De même BB'=kAB donc AB'=(k+1)AB.
Aire(ABC)=1/2.AB.AC.sin(A) et
Aire(AA'B')=1/2.AA'.AB'.sin(Pi-A).
On en déduit que Aire(AA'B')=k(k+1)Aire(ABC).
Les aires des triangles CA'C' et BB'C' ont aussi cette valeur.
Donc Aire(A'B'C')=(3k(k+1)+1)Aire(ABC).
Donc 3k(k+1)+1=1027.
Donc k(k+1)=342.
L'unique solution k=18 est en évidence.
Donc x=180.
La dernière observation a eu lieu en 1945.

j'obtiens:

(1+3k(k-1))=1027, avec k tel que BC'=kBC; CA'=kCA et AB'=kAB


soit k(k-1)=342, donc k=19


sachant qu'en 1765; k=1

donc en fait, la dernière observation date de 1765+10*(k-1)=1945

bonsoir

L'observation est faite après 180 ans de la date initiale.
Donc la date de l'observation est 1765 + 180 = 1945.

Merci pour l'énigme que je trouve très difficile mais sympa .

Bonsoir,
1945
Merçi pour l'énigme.

bonjour
je dirais que c'est en 1945 que l'aire du nouveau triangle était 1027 fois l'aire du traingle de 1765.

Mathieu

Salut minkus
Sacree enigme!
J'ai du utiliser excel en partant des coordonnees des 3 points, puis en faisant l'equation de (AB), la distance entre (AB) et C, l'aire du triangle et enfin le rapport sur l'aire de depart. Ce rapport ne varie qu'avec le temps, quelles que soient les positions de depart.
Voici le rapport en fonction de l'annee
1765        1
1775        7
1785        19
1795        37
1805        61
1815        91
1825        127
1835        169
1845        217
1855        271
1865        331
1875        397
1885        469
1895        547
1905        631
1915        721
1925        817
1935        919
1945       1027
1955        1141
1965        1261
1975        1387
etc...
Donc en 1945, les etoiles ont fait un triangle 1027 fois plus grand qu'en 1765


P.S. Si quelqu'un est interesse par la feuille Excel, je peux toujours lui envoyer...

Notations : a=BC, b=AC, c=AB. Et soit t le temps écoulé en années depuis 1765.
On a : AA'=bt/10, BB'=ct/10, CC'=at/10 et A'C=b(1+t/10), B'A=c(1+t/10), C'B=a(1+t/10).
L'aire du petit triangle vaut : S=½(bc sin A)
Et je trouve que les trois triangles AA'B', BB'C' et CC'A' ont la même aire, égale à : S×(t/10)×(1+t/10).
On a donc l'équation suivante :
102700=3t(10+t), soit 3t²+30t-102700=0
La solution positive donne : t=5/3√12333185,09 ans.
La réponse serait donc 1765+185=1950

Bonjour,

En posant n le nombre de décennies entre 1765 et l'année de la dernière observation, et après quelques manipulations des formules des aires des triangles A'AB', A'CC' et B'BC', j'arrive à la formule suivante :



Après simplifications, j'arrive à l'équation n² + n - 342 = 0, dont la racine positive est n = 18.

L'année de la dernière observation est donc 1765 + 180 = 1945.

voir http://www.ilemaths.net/forum-sujet-47434.html
ici 1+3n+3n^2=1027 donc n=18 . La dernière observation date de 1765+180=1945

bonjour,

J'ai tenté une résolution graphique sur un triangle quelconque et par déduction,

Je trouve que la surface du triangle sera 1027 fois plus grande en 1945

Ci-joint mon dessin de départ



Merci pour cette énigme

@ plus, Chaudrack

Bonjour,

Soit T_n la date d'observation de l'année 1765+10n
et S l'aire du triangle ABC en 1765.

A la date T_n, l'aire du triangle vaut S'_n = S+3n(n+1)S

On cherche S' tel que S'=1027 S

1+3n(n+1) = 1027
n(n+1) = (1027-1)/3
n = 18

Date de l'observation: 1765+18*10 = 1945.

A+

après  1 fois  10 ans l'aire est 7 fois plus grande
après  2 fois  10 ans l'aire est 19 fois plus grande
après  3 fois  10 ans l'aire est 37 fois plus grande
après  4 fois  10 ans l'aire est 61 fois plus grande
après  5 fois  10 ans l'aire est 91 fois plus grande
etc.
après  18 fois  10 ans l'aire est 1027 fois plus grande

c'était donc en 1975

A+
Torio

L'année de l'observation on a BC'=nBC, AB'=nAB et AC'=nAC

Appelons a la distance BC et h sa hauteur du triangle ABC. La surface de ABC est s(ABC)= ah/2

Dans le triangle BB'C' la hauteur est nh et BC'=(n+1)a
s(BB'C')=nh(n+1)a/2=n(n+1)*ah/2=n(n+1) s(ABC)

On peut faire le même raisonnement pour CC'A' et AA'B'

En final S(A'B'C')=(3n(n+1)+1) s(ABC)

On a don 3n²+3n+1=1027 d'où on obtient n=18

Il s'est donc passé 18 fois 10 ans depuis 1765

L'observation a eu lieu en 1945

Hello,

cette observation a eu lieu en 1945  

Bonsoir,

L'année de cette dernière observation était

Merci et à +, KiKo21.

Bonsoir minkus

Si d désigne le nombre de décennies écoulées depuis la première observation, l'aire du triangle A'B'C' est égale à (3d² + 3d + 1) fois celle de ABC.
Comme 3.18² + 3.18 + 1 = 1027, 18 décennies, ou 180 ans, séparent les deux observations.

La dernière observation a donc eu lieu en 1945.

Cordialement
Frenicle

Bonjour

si j'appelle le rapport entre l'aire en 1765+n et l'aire en 1765, .
_{(je ne cache pas que j'ai fait confiance à geoplan pour trouver les premiers termes, 7, 19 = 7+2*6, 37 = 19 +3*6, 61 = 37 + 4*6 etc, d'où j'ai conjecturé , et par addition des n formules, le résultat.)}

l'équation n'a qu'une solution positive, 18, donc l'année de la dernière observation est 1765+18=1783

_{(géoplan toujours a confirmé qu'en 18 étapes, on multiplie l'aire initiale par 1027)}

j'aime ce genre d'énigme, pas trop "bouffe-temps"

x : coefficient
. : multiplié
* : multiplié
a : aire
b : base
h : hauteur
^ : puissance


a=(b * h)/2
on augmente de x les dimensions du triangle :
A=(x.b * x.h)/2
A=x^2(b*h)/2
A = a.x^2

x= 1027^0.5 = 32.05

320.5 ans soit en 2045.5????
Soit je me plante, soit ces étoiles n'existent pas, soit vous avez inventé les noms de ces objets célestes.

la dernière observation a eu lieu en 1945

On a :A_(A'B'C') = A_(ABC) 1027

Soit : B'h' = B h1027

et 1027 = 13 79

Donc deux hypothèses:

1- Soit B'C' = BC79

et donc 7910 = 790 ce qui nous amène a 2555 !!!

2- Soit B'C' = BC 13
et donc 7910 = 130 ce qui nous amène a 1895

Je dis donc que la dernière observation est en 1895

le dernière observation date de 1785

12035 est la reponse

Bonjour,

Je calcule la surface du triangle après 10k années. ()

Je découpe la surface en 4 triangles comme indiqué sur mon dessin. Le triangle central est ABC de l'an 1765, notre référence. Je calcule la surface du triangle hachuré:


On obtient le même résultat pour les deux triangles et .

La surface totale vaut


Ce rapport vaudra 1027 pour k= 18, donc en l'an 1765+18*10=1945.

Isis

Bonjour,

Considérons le triangle ABC, son aire est 1/2.AB.AC.sin où est l'angle au sommet A.

Après 10n années, le point A est en A₁, B en B₁ et C en C₁.
L'aire du triangle A₁AC₁ s'écrit 1/2.AA₁.AC₁.sin or AA₁ = n.AB et AC₁ = (n+1).AC
L'aire du triangle A₁AC₁ est donc égale à celle du triangle ABC initial multipliée par n(n+1).

On démontre de la même manière que les triangles C₁CB₁ et B₁BA₁ ont une aire égale à n(n+1) fois celle du triangle initial.

L'aire du triangle A₁B₁C₁ est égale à la somme des aires des triangles ABC, A₁AC₁, C₁CB₁ et B₁BA₁.

L'aire du triangle A₁B₁C₁ est donc égale à (1+3n(n+1)) fois l'aire du triangle ABC.

L'équation (1+3n(n+1))=1027 conduit à n=18.
La dernière observation a donc lieu 180 ans après celle de 1765.
L'année de la dernière observation est donc 1945

Voila, merci pour l'énigme.

Bonjour,

Fin de ce mois de novembre !

La réponse était 1945.

Beaucoup de bonnes réponses avec des méthodes très variées. Bravo à tous ceux qui ont trouvé.

Comme le fait remarquer piepalm, cette énigme a déjà été proposé, il y a un bail

Désolé torio et lafol mais le calcul de la date faisait aussi partie du problème. Il faut toujours relire l'énoncé avant de poster sa réponse

citation :
(géoplan toujours a confirmé qu'en 18 étapes, on multiplie l'aire initiale par 1027)

Et géoplan, il ne fait pas 18*10 ??

duxa :

citation :
Soit je me plante, soit ces étoiles n'existent pas, soit vous avez inventé les noms de ces objets célestes.

Les 3 mon capitaine !

Enfin pour ceux qui se sont demandés pourquoi j'avais choisi cette image. C'était pour donner un indice, 1945 étant en effet l'année d'Hiroshima. Et comme je venais de revoir le merveilleux "Dr Strangelove"... (Merci Arte pour ce mois Kubrick !)

minkus

Bravo à plumemeteore qui obtient un 2e bien mérité

Oui, bien mérité  

Le mieux de l'affaire, c'est que c'était en gras .... bien mérité, mon

Félicitations plumemeteore !!