irrationalité de racine de 5

Posté par theboss1er theboss1er

bonsoir
je chercher à montrer que racine de 5 est irrationnel mais je dois avouer que je sèche.
qqun aurai-t-il une preuve sous la main svp ?

merci d'avance

a+

Posté par Nightmare Nightmare

Bonsoir, c'est un peu toujours la même chose.

Supposons que racine de 5 soit rationnel
Alors il existe p et q premiers entre eux tels que p²=5q²

On sait que modulo 3, les seuls restes d'un carré sont soit 0, soit 1.

On on déduit que p²=0 ou p²=1 mod 3
et 5q²=0 ou 5q²=2 mod 3

Si p²=5q² alors p²=5q²=0 mod 3

Mais 3 est premier et divise p² donc divise p
de même il divise 5q² donc divise q² (Théorème de Gauss) donc divise q
Absurde car p et q sont premiers entre eux.

Posté par jeanseb jeanseb

Bonsoir

Si les modulo 3 te semblent compliqués:

p² = 5 q²

5 divise 5 q² donc 5 divise  p²

or 5 est premier donc 5 divise p  donc 5² divise p² donc 5 divise q² donc 5 divise q.

Moralité: 5 divise p et q, contradiction avec l'hypoythèse.

Sauf erreur.

Posté par theboss1er theboss1er

bonsoir

je n'ai pas fait spé math mais je pense  comprendre à peu près vos 2 preuves.
merci à vous 2

a+