Produit de convolution

Posté par raphyyyy (invité)

J'aimerai avoir des explications sur un exo et pourquoi pas un coup de pouce je suis coincé!

On a 2 ensembles mesurables E et F de Rn de mesures m(E) et m(F) strictement positive .
  
On suppose d'abord E et F bornés.On doit montrer que le produit de convolution 1E*1F définit une fonction continue non identiquement nulle sur Rn puis en déduire que l'ensemble E+F est d'interieur non vide dans Rn

Ensuite on ne suppose plus E et T bornés
On doit montrer alors que si E et F sont deux ensembles mesurables de Rn de mesures strictement positives alors l'ensemble E+F est d'intérieur non vide


merci  d'avance pour votre aide.
Remarque: 1E et 1F désignent respectivement l'indicatrice de E et de F.

Posté par Ksilver Ksilver

Salut !


bon normalement tous la premier parti  :"1E*1F définit une fonction continue non identiquement nulle" c'est des résultats de bases du produit de convolution... donc il faudrait que tu précise un peu ce que tu as vu en cours sur les produit de convolution (parcequ'il si il faut remontrer ceci, ca sera surement le plus gros morcaus de l'exercice ^^ )


pour montrer que E+F est d'intérieur non vide note que :
f(x) = 1E * 1F (x) = intégral 1E(x)*1E(t-x) dx = mesure de {x|x est dans E et t-x est dans F}
en particulier si f(x) est non nul, c'est que {x|x est dans E et t-x est dans F} est non vide, est donc qu'il existe x telle que x est dans E et t-x dans F ie t est dans F+E.

donc si f est continu non identiquement nul elle est forcement non nul sur au moins un ouvert et donc F+E contiens un ouvert non vide, E+F est d'intérieur non vide.


pour la dénière question il suffit de considérer des sous ensemble E et F borné de mesure non nul (on montre que ca existe en recouvrant R par des compact de mesure non nul, alors l'intersection de E avec au moins un de ces compact est de mesure non nul, sinon E serait de mesure nul...)  et d'appliquer le résultat précedent...