le rôle de la dérivée dans l’étude d’une fonction

Posté par Missy (invité)

Bonjour,

Je suis en TS et depuis l'an dernier (1ere S), on nous apprend à dériver des fonctions mais je n'ai jamais compris concretement à quoi cela servait.

Si quelqu'un pouvait m'eclaircir ce point...

Posté par Guillaume (invité)

Salut,

la derivée d'une fonction est elle-même une fonction.
Mais elle a une particularité: sa valeur en un point notée f'(x) correspond exactement à la valeur de la pente de la tengente, en ce meme point, à la fonction initiale f(x).

Ca veut entre autre dire  que le signe de f'(x) te donne le sens de variation de f:
si f'(x)<0 f decroit
si f'=0 f constante
si f'(x)>0 f croissante

Biensur, f est une fonction donc son signe change selon des intervalles...

exemple:
f(x)=x² (courbe assez simple)
je calcule f'(x)=(x²)'=2x

si x est < 0 et bien f'(x) est <0 alors j'en deduis dque f(x) decroit sur |-inf,0]
si x>0 et bien f'(x) >0 et j'en deduis que f croit sur [0,+ibnf]

(Au passage: cela veut dire que f admet un mimimum en x=0)

de plus en x=0 j'ai f'(0)=0 donc il y a une tengente horizontale (pente nulle) à f(x) en x=0.

voila, sinon je peut trouver la pente en x=4
c'est f'(4)=2*4=8

(Au passage: conaissant le pente de la tengente je peux trouver son equuation complete avec la formule:
y-yo=f'(x0)(x-x0)   ((x0,yo) etant le point ou on cherhce la tengente)


Autre exemple:
f(x)=1/x
f'(x)=-1/x²
on voit que f' est toujours negatif donc f decroit tout le temps (tu peux verifier sur une machine..)
voila en gros.
A+

Posté par Missy (invité)

merci pour la reponse (et la rapidité aussi)
en ce qui concerne l'equation de la tangente, je n'ai pas tres bien saisi
>y-yo=f'(x0)(x-x0) ((x0,yo) etant le point ou on cherhce la tengente
qu'est ce que x0 ? l'abscisse du point d'intersection entre la courbe representative de la fonction et la tangente ? et y ?
je suis perdue là

j'ai postée sur un autre topic un exo sur un calcul de limite en rapport avec la derivée
si j'ai bien compris mon cours, pour etuvier la derivabilité en un point A, on cherche la limite(x->A) (f(x)-f(a)) /(x-a), c'est bien ca ?

Posté par Guillaume (invité)

Oui, je vais peut etre un peu vite:

1) pour l'equation de la tangente:
(x0,yo) est effectivement le point de le courbe ou passe la tengente. tu as biensur yo=f(x0)
les x et y c'est des variables.

exemple: tangnete à la courbe f(x)=x² en x=4
x0=4
yo=f(x0)=4²==16
f'(x)=2x donx f'(4)=8

y-y0=f'(x0)(x-x0)
donne
y-16=8(x-4)
soit
y=8x-16
equation de la tengente chercée.


2)pour savoir si la derivée existe oui on cherche lim (x->a) de (f(x)-f(a))/(x-a)
ou bien (c pareil mais des fois plus simple):
lim (h ->0) (f(a+h)-f(a))/h

exemple f(x)=x²
f(x)-f(a) /(x-a)=(x²-a²)/(x-a)
=(x-a)(x+a)/(x-a)=x+a
et lim de cela quand x->a c'est 2a On note f'(a)=2a!!!
on retrouve f'(x)=2x

A+

Posté par Missy (invité)

Merci