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morphisme d'anneaux

Posté par
fusionfroide 29-11-07 à 22:49

Salut

On considère \phi : \mathbb{Q}[X]->\mathbb{Q}[\sqrt{2}] qui à f(X) associe f(\sqrt{2})

je dois montrer que \phi est un morphisme d'anneaux.

Donc pour l'addition :

Soient f(X) et f(X') dans \mathbb{Q}[X], alors \phi(f(X)+f(X'))=??

Là je ne vois pas ce que ça fait !

Merci !

Posté par
lafol Moderateurre : morphisme d'anneaux 29-11-07 à 22:52

Bonsoir
ce serait plutôt f(X) et f'(X), que f(X) et f(X') ...

Posté par
fusionfroidere : morphisme d'anneaux 29-11-07 à 22:53

salut !

Oui merci lafol ^^

Mais je ne vois toujours pas qu'elle est l'image : \phi(f(X)+f'(X))

Merci pour ton aide !

PS : c'est mon premier exo sur les anneaux

Posté par
fusionfroidere : morphisme d'anneaux 29-11-07 à 22:54

Est-ce simplement f(\sqrt{2}) ?

Posté par
H_aldnoerre : morphisme d'anneaux 29-11-07 à 22:57

alors \phi((f+f')(X))=(f+f')(\sqrt{2})=f(\sqrt{2})+f'(\sqrt{2}).

Posté par
lafol Moderateurre : morphisme d'anneaux 29-11-07 à 22:58

si f(X) = \Bigsum_{k=0}^na_kx^k et f^'(X) = \Bigsum_{k=0}^{n^'}a_k^'x^k,

f(X)+f^'(X)=\Bigsum_{k=0}^na_kx^k + \Bigsum_{k=0}^{n^'}a_k^'x^k

\Phi \(f(X)+f^'(X)\)=\Bigsum_{k=0}^na_k\(\sqrt{2}\)^k + \Bigsum_{k=0}^{n^'}a_k^'\(\sqrt{2}\)^k

Posté par
lafol Moderateurre : morphisme d'anneaux 29-11-07 à 22:59

j'ai mis des x au lieu des X, mais le coeur y était

Posté par
fusionfroidere : morphisme d'anneaux 29-11-07 à 23:00

Salut H_aldnoer !

Ok merci bien, c'est reès sympa et je comprends comment ça marche !

Comment justifier aussi que \phi(1_{\mathbb{Q}[X]})=1_{\mathbb{Q}[\sqrt{2}]} ?

Merci

Posté par
fusionfroidere : morphisme d'anneaux 29-11-07 à 23:01

Citation :
j'ai mis des x au lieu des X, mais le coeur y était


Ne t'inquiètes pas, c'est très clair

Posté par
H_aldnoerre : morphisme d'anneaux 29-11-07 à 23:02

avec la définition séquentielle il me semble bien que la somme de polynôme s'obtient comme suit : P(x)+P'(x)=(P+P')(x), ou bien je me trompe ?

Posté par
lafol Moderateurre : morphisme d'anneaux 29-11-07 à 23:02

1_{Q[X]} = 1, non ?

Posté par
fusionfroidere : morphisme d'anneaux 29-11-07 à 23:03

Citation :
1_{Q[X]} = 1, non ?


Je viens à l'insatnt de le voir dans mon cours

Posté par
H_aldnoerre : morphisme d'anneaux 29-11-07 à 23:04

ton polynôme est constant.
Je pense que tu dois voir ça comme une sorte d'évaluation en \sqrt{2}

Posté par
fusionfroidere : morphisme d'anneaux 29-11-07 à 23:06

Ok

A-t-on bien 4$ker\phi=\{f(X)\in \mathbb{Q[X]}/\phi(f(X))=0_{\mathbb{Q[\sqrt{2}]}\}

Posté par
H_aldnoerre : morphisme d'anneaux 29-11-07 à 23:10

oui, je crois bien!

Posté par
fusionfroidere : morphisme d'anneaux 29-11-07 à 23:10

ok on me demande de le calucler, je vous poste ce que je trouve !

Posté par
lafol Moderateurre : morphisme d'anneaux 29-11-07 à 23:10

oui

Posté par
fusionfroidere : morphisme d'anneaux 29-11-07 à 23:14

Oups j'ai oublié de préciser que 4$\mathbb{Q[\sqrt{2}]}=\{a+b\sqrt{2}\}

Donc j'aboutis pour le noyau de phi à : 4$f(\sqrt{2})=0_{\mathbb{Q[\sqrt{2}]}}

Donc a+b\sqrt{2}=0 ??

Posté par
lolo217re : morphisme d'anneaux 29-11-07 à 23:16

Le noyau de  ton application est constitué de polynômes   (cherches l'image de  X^2-2  pour voir)

Posté par
lafol Moderateurre : morphisme d'anneaux 29-11-07 à 23:16

tu cherches tous les polynômes tels que f(\sqrt{2})=0

(par exemple, f(X) = X^2-2 fait l'affaire ...)

Posté par
lafol Moderateurre : morphisme d'anneaux 29-11-07 à 23:17

bonsoir lolo217
les grands esprits se rencontrent, à ce qu'on dit ?

Posté par
fusionfroidere : morphisme d'anneaux 29-11-07 à 23:17

Salut lolo

Ok merci j'ai compris !

Posté par
fusionfroidere : morphisme d'anneaux 29-11-07 à 23:19

Donc on en déduit que 4$\frac{\mathbb{Q[X]}}{(X^2-2)} \approx \mathbb{Q[\sqrt{2}]}

Si je veux montrer que \phi est surjective, je dois procéder comment ?

Posté par
lafol Moderateurre : morphisme d'anneaux 29-11-07 à 23:21

pas compliqué : a + b\sqrt{2} = \Phi (f(X)) avec f(X) = bX + a

Posté par
H_aldnoerre : morphisme d'anneaux 29-11-07 à 23:21

c'est le théorème de factorisation oui.

Posté par
fusionfroidere : morphisme d'anneaux 29-11-07 à 23:26

Ok bah c'est très sympa à tous(tes) de m'avoir aidé pour cet exo !

Merci beaucoup !

Posté par
lafol Moderateurre : morphisme d'anneaux 29-11-07 à 23:27

avec plaisir

Posté par
fusionfroidere : morphisme d'anneaux 12-01-08 à 18:09

Salut

Je fais remonter ce fil car je bloque sur un truc.

Comment montrer que 4$\phi(f(X)f^'(X))=\phi(f(X))\phi(f^'(X))

En effet, en reprenant les notations de lafol, on a : 4$f(X) = \Bigsum_{k=0}^na_kx^k et 4$f^'(X) = \Bigsum_{k=0}^{n^'}a_k^'x^k

Donc 4$f(X)f^'(X)=\Bigsum_{k=0}^{n+n'} \Bigsum_{j=0}^k a_jb_{k-j}x^k

Mais je ne vois pas comment aboutir au résultat voulu ?

Merci

Posté par
H_aldnoerre : morphisme d'anneaux 12-01-08 à 19:55

Je note f à la place de phi.
Considère l'application g(P,Q)=f(P)f(Q)
On montre que g est une application bilinéaire car f est linéaire.

Il s'agit de montrer dans chaque cas que g(P,Q)=f(PQ)

cas 1 : deux monômes.
Si P(X)=aX et Q(X)=bX alors g(P,Q)=f(PQ) (immédiat)

cas 2 : un monôme et un polynômes.
Si P(X)=aX et Q(X)=\Bigsum_{k=0}^{n'} b_kX=\Bigsum_{k=0}^{n'} Q_k(X) avec Q_k(X)=b_kX
Alors g(P,Q)=g(P,\Bigsum_{k=0}^{n'} Q_k(X))

On utilise la linéarité de la seconde variable (car g est bilinéaire) d'ou g(P,Q)=\Bigsum_{k=0}^{n'}g(P,Q_k)

On utilise le cas 1 (car Q_k est un monôme) d'ou g(P,Q_k)=f(PQ_k)
Soit g(P,Q)=\Bigsum_{k=0}^{n'}f(PQ_k)
On utilise la linéarité de la fonction f d'ou g(P,Q)=f(\Bigsum_{k=0}^{n'}PQ_k)=f(P\Bigsum_{k=0}^{n'}Q_k)=f(PQ)

cas 3 : deux polynômes. (Jackie Chan)

Si P(X)=\Bigsum_{k=0}^n a_kX=\Bigsum_{k=0}^n P_k(X) avec P_k(X)=a_kX et Q(X)=\Bigsum_{k=0}^{n'} b_kX=\Bigsum_{k=0}^{n'} Q_k(X) avec Q_k(X)=b_kX

Alors g(P,Q)=g(\Bigsum_{k=0}^n P_k(X),\Bigsum_{k=0}^{n'} Q_k(X))

On utilise la linéarité de la première variable (car g est bilinéaire) d'ou g(P,Q)=\Bigsum_{k=0}^{n}g(P_k,\Bigsum_{k=0}^{n'}Q_k)

On utilise le cas 2 (on est bien dans le cas monôme P_k(X) et polynômes \Bigsum_{k=0}^{n'}Q_k) d'ou g(P_k,\Bigsum_{k=0}^{n'}Q_k)=f(P_kQ)
Soit g(P,Q)=\Bigsum_{k=0}^{n}f(P_kQ)
On utilise la linéarité de la fonction f d'ou g(P,Q)=f(\Bigsum_{k=0}^{n'}P_kQ)=f(Q\Bigsum_{k=0}^{n'}P_k)=f(PQ)

(sauf erreur, méthode de maître kaiser)

Posté par
fusionfroidere : morphisme d'anneaux 12-01-08 à 22:50

Wouah merci énormément H-aldnoer !

Posté par
Rodrigore : morphisme d'anneaux 12-01-08 à 23:38

Non mais on a pas besoin de tout ça! Il est immédiatque pour deux polynomes P(x)Q(x)=PQ(x), c'est censé etre connu...et c'est issu d'un simple calcul...


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