*c'est associé à

Bonjour

Il s'agit d'un théorème de recollement de solutions d'équations différentielles sur R. Il dit en gros que si l'équation est définie sur ]a,b[ (avec des hypothèses), la seule possibilité pour une solution maximale de ne pas être définie sur tout ]a,b[ est de tendre vers l'infini. Si elle est bornée, elle est prolongeable par continuité aux bouts. Ta première version dit à peu près la même chose pour un système, ou on s'approche de la frontière du domaine.

Bonjour,
Ce théorème est appelé théorème de sortie des compacts.
Il dit que si tu as une soluion maximale à x'=F(x,t) ou F est loc lipshitzienne avec F loc lipshitzienne en la première variable sur un ouvert d'un espace de Banach et la deuxième variable étant dans ]t-,t+[.
Alors si x est définie sur ]t0,t1[ avec par exemple t1<t+ alors ||x(t)|| n'est pas borné au voisinage de t1

Est ce plus clair?

Par exemple pour montrer que les solutions maximales de x"+sin(x)=0 sont définies sur tout R

C'est ça! C'est le phénomène dit d'eplosion en temps fini!

Oui, c'est à peu près ça. Elle ne peut pas s'arrêter pour d'autre raisons (par exemple un point ou elle ne serait pas dérivable...)

explosion

pour en revenir à ton équation,
on a x'=y
y'=-sin(x)

on a donc une équation de la forme (x',y')=f(t,(x,y))
ou f de RxR²->R²
f(t,(x,y))=(y,-sin(x))

cette application est clairement lisse donc localement lipschitzienne,il exsite une unique solution pat Cauchy-Lipschitz
aprés bah je fais quoi?

Intègre l'equa diff!

si j'integre deux fois,
j'ai x=sin(x)+k1x+k2
ou k1 et k2 sont des constantes.

Heu non... je sais pas ce qu'a t'a fait...
Pour intégrer l'equa diff il faut la mutliplier par 2x', et tu devrait arriver à une majoration de de x' qui te donne le fait que x ne puisse sortir d'un compact sur un intervalle borné!

mais ma méthode de 17:35 n'est-elle pas bonne?

Heu oui mais bon on peut en dire plus, peut etre n'a tu jamais vu ca, je te montre comment cela fonctionne

2x'x"=-2x'sin(x) ce qui donne en intégrant entre tO et t

Donc
Donc sur un compact x est bornée

euh oué j'ai eu du mal à suivre mais bon soit!!
et pourquoi sur un compact x est bornée?

Ben majore ce qui est sous l'intégrale (l'intégrand je crois qu'on dit) est majoré par une constante. Donc x est majoré par cette constante fois la mesure de l'intervalle sur lequel on intègre!

You're welcome