Norme sur un ev et sur une algèbre

Posté par clemclem clemclem

Bonjour,

Deux questions assez vastes :
1) Peut-on toujours munir un espace vectoriel d'une norme ?
2) Peut-on toujours munir une algèbre (éventuellement normé) d'une norme d'algèbre?

Merci

A plus

Posté par Fractal Fractal

Bonjour

Déjà, la définition d'une norme sur un espace vectoriel nécessite que le corps de base soit muni d'une valeur absolue.
Si tu considères un espace vectoriel sur un corps fini, il n'y a donc sauf erreur pas de norme possible.

Fractal

Posté par clemclem clemclem

Bonjour,

Pourquoi ne peut pas munir un corps fini d'une valeur absolue?
Et si on considère un evn de corps de base R ou C peut-on toujours trouver une norme?

Merci

A plus

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

Par définition, la notion de norme ne s'applique qu'à un R-espace vectoriel. Tout R-espace vectoriel peut être muni d'une norme. S'il est de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes, donc il arrive que l'on ne précise pas. Dans le cas de la dimension infinie, il existe toujours des normes, mais il est essentiel de préciser le choix si on veut travailler avec.

S'il s'agit d'un C-espace vectoriel, on le regarde comme R-espace vectoriel.

Toute R-algèbre peut être munie d'une norme d'algèbre.

Pour des corps autres que R, il existe aussi des notions analogues, mais c'est vraiment un autre problème...

Posté par clemclem clemclem

Bonjour Camélia,

Tu pourrais me dire comment on démontre toutes ces propriétés ou alors où je peux me procurer ces preuves.

Merci

A plus

Posté par clemclem clemclem

Personne pour m'aider?

A plus

Posté par Camélia Camélia

Si E est un R-espace vectoriel et si (e_i) est une base, tu peux toujours décider de poser
pour x=x_ie_i, ||x||=sup|x_i| ou la somme des valeurs absolues, ou la racine de la somme des carrées, puisque pour chaque x l'ensemble des x_i non nuls est fini.

Posté par clemclem clemclem

Et si la dimension est fini, est-on sûr que ce sup existe?

Posté par clemclem clemclem

Je voulais dire infini...

Posté par Camélia Camélia

Oui, puisque pour chaque x il n'y a qu'un nombre fini de coordonnées non nulles.