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Un sous-anneau d'un corps est un corps ?
Bonjour,
une petite question :
A un sous-anneau d'un corps K, A est-il un corps? pourquoi?
Je ne vois rien d'autre que A est un sous-anneau qui est un corps... En revanche, s'il s'agit de sous-anneau engendré par une famille, il y a des conditions pour que le eous-anneau engendré soit égal au sous-corps engendré.
Alors ça dépend de la caractéristique de K. Si K est de caratéristique nulle A est isomorphe à Z, si K est de caractéristique p (premier) A est isomorphe à Z/pZ qui est bien un corps.
Je fait la démonstration suivante : toute corps est extension soit de Q, soit de Z/pZ.
J'écris qu'il existe un unique homomorphisme f de Z dans K qui à n associe
f(Z) est un sous-anneau de K mais est-ce un corps ?
Reprenons. Tu définis f de Z dans K comme tu dis. Par définition A=f(Z). f est un morphisme, son noyau est un sous-groupe de Z. Si Ker f ={0}, f est un iso entre Z et A, qui n'est donc pas un sous-corps.
Si Ker f=mZ avec m non nul. De toute façon A sera isomorphe à Z/mZ. Comme K est intègre, m est nécessairement premier, donc A est un sous-corps.
Je raisonne comme ça :
Il existe .
K est un corps donc {0} est un idéal maximal de K donc un idéal premier de K.
Donc est un idéal premier de
.
Donc ou
avec p premier.
Si , le théorème de factorisation nous dit qu'il existe
Il est clairement injectif (égalité des noyaux) mais pourquoi est-il surjectif ?
Cad pourquoi f est surjectif ?
ou bien faut-il considérer avec f(\mathbb{Z}) sous-anneau de K.
question :
soit un homomorphisme d'anneaux, est-ce que
est toujours surjectif ?
Ok j'ai fini la démonstration donc, merci!
Maintenant on me demande de prouver qu'il existe un corps à 4 éléments, unique à isomorphisme près. Comment faire ?
Encore moi
Le mieux est de le construire. C'est forcément un espace vectoriel de dimension 2 sur Z/2Z. Additivement, c'est forcémént (Z/2Z)2. Si on note 0=(0,0), 1=(1,0) a=(0,1), on a (1,1)=a+1.
Tu peux montrer qu'il y a une seule table possible pour la multiplication.
Ceci est la solution naïve artisanale.
La solution savante: p(X)=X2+X+1 est le seul polynôme de degré 2 irréductible de (Z/2Z)[X] et le quotient (Z/2Z)[X]/(P) est le corps en question!
En faite je me demande bien si on a le résultat :
Si P est irréductible dans K[X] alors K[X]/(P) est un corps, et, un K-ev de dimension le degré de P
???
Donc déjà pour le fait que ce soit un corps :
On a que K[X]/(P) est un anneau, si (P) est maximal on aura le résultat.
Pourquoi P irréductible implique que (P) est maximal 
Si A est un polynôme quelconque par division euclidienne tu écris A=PQ+R avec R de degré au plus n-1. ceci operlet déjà de montrer que les classes de 1, X, ..., Xn-1 forment une base de K[X]/(P) ce qui donne le fait que c'est un esp. vect. de dim n. Par ailleurs, comme on quotiente par un idéal maximal on a bien un corps.
J'ai bien compris pour l'ev.
comme on quotiente par un idéal maximal on a bien un corps
C'est ici que je bloque !
ce que je dis à 15:09 est correcte ?
Oui, ce que tu dis est correct. Précisément: un élément irréductible engendre un idéal premier en général. Mais dans un anneau principal, (c'est le cas ici) les idéaux premiers non nuls, sont maximaux. Donc tout va bien.
Si on te demandait juste un corps à 4 éléments, construis-le à la main, c'est très instructif, et là nous sommes en train d'anticiper 3 semaines de cours...
(j'ai pas compris ton message en italique !)
Enfin bref, je prend par exemple K=\mathbb{F}_2 et le polynôme X^2+X+1 donc c'est fini non ?
Ok. Je pense avoir compris.
La question en fin me demande pensez-vous qu'il existe un corps à 6 élements ?
Je prend maintenant un polynôme irréductible de degré 6 ??
Non; il n'existe pas de corps à 6 éléments. Le cardinal d'un corps fini est de la forme pn avec p premier.
Ah oui, et comme il n'existe pas p premier et n entier naturel tel que alors il n'existe pas de tel corps!
Bon merci beaucoup Camélia.
On prend un corps K. Une extension de K est un corps L contenant K comme sous-corps et on note L\K pour désigner une extension L de K.
C'est écrit comme ça dans mon cours
Alors d'accord. Tout corps est extension d'un Fp ou de Q. Bien sûr rien ne dit que c'est de dimension finie en tant qu'espace vectoriel...
-> Camélia, il est faux qu'un irreductible engendre toujours un idéal premier, même dans un anneau intègre (c'est en revanche vrai dans un anneau principal) pour t'en convaincre examine R[x,y]/(x^2-y^3)
la classe de x y est irreductible mais n'egendre pas un idéal premier
>Rodrigo OK tu as raison...
>H_aldnoer Je continue à ne pas comprendre tes notations, mais ce n'est pas grave! Un corps de caractéristique 0 est une extension de Q, c'est le cas de R ou de C...
Un corps de caractéristique non nulle p (nécessairement premier) est une extension de Fp.
Ben parce que Z est inclus dans C donc le morphisme d'anneau de Z dans C est l'injection donnée par l'inclusion
Des corps de carractérisitques non nulles... Tous les corps fini mais aussi le corps des fractions rationnelles sur un corps fini (source de nombreux contre exemples...
)
Corps de carractéristique nulle...toutes les extensions de Q. Q[rac(2)], Q[i], la cloture algébrique de Q pour les algébriques Q(pi), R, C pour les non algébriques
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