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Suite & Radicaux

Posté par
gui_tou 08-12-07 à 16:33

Bonjour

Je m'entraîne sur les suites mais je ne vois pas trop la question 1 (et les autres )

Citation :
Soient \Large \rm \alpha et \Large \rm \beta deux réels positifs de somme non nulle ; on note \Large \rm {(u_n)}_{n\in\mathbb{N} la suite réelle définie par la donnée de \Large \rm u_0=\alpha, \Large \rm u_1=\beta et la relation :
\Large \rm \fbox{u_{n+2}=\sqrt{u_{n+1}}+\sqrt{u_n} \;\;n\in\mathbb{N}


1. Quelles sont les limites éventuelles de la suite \Large \rm {(u_n)}_{n\in\mathbb{N} ?

2. Montrer que si \Large \rm u_n < 1 à partir d'un certain rang \Large \rm n_0, alors la suite croît à partir de ce rang \Large \rm n_0. (on pourra comparer x et x² pour 3$\rm x\in[0,1]).

3. En déduire que 0 n'est pas limite de cette suite.

4. Justifier qu'il existe \Large \rm N\in\mathbb{N} tel que \Large \rm u_n\ge 1 et montrer que \Large \rm \forall n\ge N, u_n\ge 1

(La question 5 consiste à montrer que Un converge vers 4, mais je saurai le faire)




Merci

Posté par
gui_toure : Suite & Radicaux 08-12-07 à 16:43

Bien sûr, je ne veux que des pistes de réflexion

Pour la 1. je pensais dire :

A priori, soit la suite diverge vers \Large \rm +\infty, soit la limite est finie, c'est alors un réel str positif, soit la suite diverge.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Suite & Radicaux 08-12-07 à 16:45

Bonjour,

1. Si la suite tend vers une limite réelle L, alors L vérifie l'équation...

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Suite & Radicaux 08-12-07 à 16:47

Salut gui_tou,

on peut effectivement répondre cela... A vrai dire comme ca, là tout de suite, je vois pas trop ce que l'on pourrait dire d'autre...

Sinon pour la 2. l'indication me semble suffisante, procède par minoration et/ou majoration

Posté par
gui_toure : Suite & Radicaux 08-12-07 à 16:49

Re bonjour Nicolas

Je suis vraiment une banane (-> limites )

ok donc L vérifierait \Large \rm L=2\sqrt{L} \Leftrightarrow \{L=0\\ou\\L=4

Merci

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Suite & Radicaux 08-12-07 à 16:51

0, 4... ou +oo

Posté par
gui_toure : Suite & Radicaux 08-12-07 à 16:51

Salut Puisea

ok je vais y réfléchir

Posté par
gui_toure : Suite & Radicaux 08-12-07 à 16:59

Je ne vois pas trop majorer quoi par quoi

La suite est bornée entre 0 et 1, mais cela implique-t-il le sa monotonie ?

Encore merci

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Suite & Radicaux 08-12-07 à 17:01

Pourquoi veux-tu majorer ? Réponds juste à la question 2.
U(n+2) >= V(U(n+1)) >= ...

Posté par
gui_toure : Suite & Radicaux 08-12-07 à 17:10

U(n+2) >= V(U(n)) ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Suite & Radicaux 08-12-07 à 17:12

Supposons que 0 =< Un < 1 à partir du rang n0
Alors, après ce rang :
U(n+2) = V(U(n+1)) + V(U(n)) >= V(U(n+1)) >= U(n+1)
donc la suite est croissante, non ?

Posté par
infophilere : Suite & Radicaux 08-12-07 à 17:15

Juste pour saluer Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Suite & Radicaux 08-12-07 à 17:16

Salut, Kevin !

Posté par
gui_toure : Suite & Radicaux 08-12-07 à 17:17

Je suis trop bête

Posté par
gui_toure : Suite & Radicaux 08-12-07 à 17:38

J'ai peut-être l'idée pour la 3.

Supposons que \Large%20\rm%20{(u_n)} converge vers 0 \large \rm \fbox{\red(1). Alors
\large \rm \forall \epsilon \in \mathbb{R}^*_+, \exists n_0\in\mathbb{N}, \forall n\ge n_0, U_n \le \eps

En choisissant \large \rm \epsilon=1, il vient \Large \rm \exists n_0\in\mathbb{N}, \forall n\ge n_0, U_n \le 1

D'après la question 2., puisque \large \rm U_n < 1 apcr, alors (U_n) est croissante \large \rm \fbox{\red(2)

\large \rm \fbox{\red(1) et \large \rm \fbox{\red(2) en contradiction donc 0 n'est pas limite de Un.

------------

Ce raisonnement tient la route ?

Posté par
gui_toure : Suite & Radicaux 08-12-07 à 18:37

Up

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Suite & Radicaux 09-12-07 à 05:33

Je ne vois pas bien la contradiction. On peut avoir une suite croissante à partir d'un certain rang et tendant vers 0. Par exemple, la suite (-1/n).
Tu vas dire : "oui, même la nôtre est positive". OK. Mais la suite nulle est une suite positive, croissante à partir d'un certain rang, et tendant vers 0.
La contradiction réside alors dans le fait que, dans ce cas, alpha=beta=0, ce qui est contraire aux hypothèses (relire le début de l'énoncé).
Et en fait, même pas, à cause du "à partir d'un certain rang".
Donc on ne peut pas remonter à alpha et beta, sauf à faire intervenir la formule de récurrence, ce qui est utile ici
En résumé : ton raisonnement est incomplet
Raisonnons par l'absurde et supposons que la suite tende vers 0.
Alors Un est < 1 à partir d'un certain rang.
Donc la suite est croissante à partir d'un certain rang.
Or elle est positive et tend vers 0.
Donc la suite est nulle à partir d'un certain rang n0.
Par la formule de récurrence V(U(n)) = U(n+2) - V(U(n+1)), on en conclut de proche en proche que tous les termes de la suite situés avant n0 sont aussi nuls.
Donc alpha=beta=0. Contraire aux hypothèses.

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Suite & Radicaux 09-12-07 à 05:33

Il manquait un saut de ligne !

Je ne vois pas bien la contradiction. On peut avoir une suite croissante à partir d'un certain rang et tendant vers 0. Par exemple, la suite (-1/n).
Tu vas dire : "oui, même la nôtre est positive". OK. Mais la suite nulle est une suite positive, croissante à partir d'un certain rang, et tendant vers 0.
La contradiction réside alors dans le fait que, dans ce cas, alpha=beta=0, ce qui est contraire aux hypothèses (relire le début de l'énoncé).
Et en fait, même pas, à cause du "à partir d'un certain rang".
Donc on ne peut pas remonter à alpha et beta, sauf à faire intervenir la formule de récurrence, ce qui est utile ici
En résumé : ton raisonnement est incomplet

Raisonnons par l'absurde et supposons que la suite tende vers 0.
Alors Un est < 1 à partir d'un certain rang.
Donc la suite est croissante à partir d'un certain rang.
Or elle est positive et tend vers 0.
Donc la suite est nulle à partir d'un certain rang n0.
Par la formule de récurrence V(U(n)) = U(n+2) - V(U(n+1)), on en conclut de proche en proche que tous les termes de la suite situés avant n0 sont aussi nuls.
Donc alpha=beta=0. Contraire aux hypothèses.

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par
gui_toure : Suite & Radicaux 09-12-07 à 11:34

Merci Nicolas ! En plus tes remarques sont super enrichissantes :)

\Large%20\rm%20{(u_n)}_{n\in\mathbb{N} étant positive, il fallait donc que je montre qu'elle n'était pas la suite nulle àpcr.

Je retravaille la 4.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Suite & Radicaux 09-12-07 à 11:40

Je t'en prie.

Posté par
gui_toure : Suite & Radicaux 09-12-07 à 14:29

J'attaque

Justifions qu'il existe \large%20\rm%20N\in\mathbb{N} tel que \large%20\rm%20u_n\ge%201 et montrons que \large%20\rm%20\forall%20n\ge%20N,%20u_n\ge%201.

\large \rm \fbox{\green 1 Existence

Supposons que cet entier n'existe pas, ie \large%20\rm \forall n\in\mathbb{N}, 0 \le u_n < 1
Ainsi \large%20\rm%20{(u_n)}_{n\in\mathbb{N} est majorée par 1.

D'après la question 2., \large%20\rm%20 u_n < 1 \Rightarrow {(u_n)}_{n\in\mathbb{N}} croissante

Donc \large \rm {(u_n)}_{n\in\mathbb{N}} est convergente.
N'étant pas la suite nulle, elle converge vers une valeur finie telle que 0 < L < 1.

Or L ne vérifie pas \large \rm L=2\sqrt{L}, condition nécessaire et suffisante que doit vérfier l'éventuelle limite finie de \large%20\rm%20{(u_n)}

\Large \rm \blue \fbox{Conclusion : \exists N\in\mathbb{N} / u_N \ge 1.

\large \rm \fbox{\green 2 Je pensais faire une récurrence qui n'est pas super dure

------

Incomplet ? Fausse bonne idée ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Suite & Radicaux 09-12-07 à 14:32

Attention, le
"N'étant pas la suite nulle, elle converge vers une valeur finie telle que 0 < L < 1"
est un peu rapide.
Tous les termes sont dans [0;1[
Elle est convergente.
Donc la limite est dans [0;1] (au sens large)
Puis tu peux finir ton raisonnement.

Posté par
gui_toure : Suite & Radicaux 09-12-07 à 14:38

Ok !

Citation :
Donc la limite est dans [0;1] (au sens large)


Donc la limite pourrait être 0, mais on a montré que non.
Etc.

Bon ?

Encore merci Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Suite & Radicaux 09-12-07 à 14:42

C'est cela, il me semble.
Soit la limite est 0 ==> impossible comment montré avant
Soit la limite est dans ]0;1] ==> impossible car ne vérifie pas l'équation blabla

A vérifier à tête reposée.

Je t'en prie.

Posté par
gui_toure : Suite & Radicaux 15-12-07 à 13:46

Bonjour !

Alors je me repenche sur cet exo :

Citation :
Question 6 On veut montrer que la suite \large%20\rm (u_n)_{n\in\mathbb{N}} converge vers 4.

(a) Montrer qu'il suffit de montrer que la suite \large%20\rm (\sqrt{u_n})_{n\in\mathbb{N}} converge vers 2.
On pose alors \large \rm z_n=\| \sqrt{u_n}-2 \|, n\in\mathbb{N}

(b) Montrer que, pour tout \large \rm n\ge N, z_{n+2} \le \fra{1}{3}\(z_{n+1}+z_n\)

(c) On pose \large%20\rm a=\fra{1-\sqrt{13}}{6} et on considère la suite réelle \large%20\rm {(x_n)}_{n\in\mathbb{N} définie par :
\large%20\rm \forall n\in\mathbb{N}, \; x_n = z_{n+1}-az_n

  i. Montrer que, pour tout \large \rm n\ge N, 0 \le x_{n+1} \le (\fra{1}{3}-a)x_n

  ii. Montrer alors que la suite \large%20\rm (x_n)_{n\in\mathbb{N} tend vers 0.

(d) Justifier que la suite \large%20\rm (z_n) tend aussi vers 0 et conclure.


Euh pour la 6a. je ne vois pas comment le démontrer proprement. C'est évident n'est pas une réponse correcte

Je suis nul ..

Merci

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Suite & Radicaux 15-12-07 à 14:06

6.a. est effectivement évident.

Posté par
gui_toure : Suite & Radicaux 15-12-07 à 14:14

Re salut Nicolas

Supposons que \large%20\rm%20{(u_n)}_{n\in\mathbb{N}} converge vers 4. Donc \large%20\rm%20(\sqrt{u_n})_{n\in\mathbb{N}} converge vers 2.

Conclusion : \large%20\rm%20(\sqrt{u_n})_{n\in\mathbb{N}} converge vers 2

---

C'est bon ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Suite & Radicaux 15-12-07 à 14:16

Erreur de logique.
On te demande de montrer "il suffit", c'est-à-dire :
Vun -> 2 ===> un -> 4

Posté par
gui_toure : Suite & Radicaux 15-12-07 à 14:20

Un est positif, pourquoi la réciproque serait fausse ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Suite & Radicaux 15-12-07 à 14:22

La réciproque
un -> 4 ===> Vun -> 2
est JUSTE. Mais ce n'est pas ce que l'énoncé te demande de démontrer en 6.a.

Posté par
gui_toure : Suite & Radicaux 15-12-07 à 16:01

Ok c'est bon merci

Pour montrer que pour tout \large%20\rm%20n\ge%20N,%20z_{n+2}%20\le%20\fra{1}{3}\(z_{n+1}+z_n\), j'ai senti de l'inégalité triangulaire.

\large \rm u_{n+2}-4 = \sqrt{u_{n+1}}-2 + \sqrt{u_n}-2\\\| u_{n+2}-4 \|= \|\sqrt{u_{n+1}}-2 + \sqrt{u_n}-2 \|\\\| u_{n+2}-4 \|\le z_{n+1}+z_n

...

Il faut certainement se servir du fait que u_n\ge 1..

Un indice ?

Posté par
gui_toure : Suite & Radicaux 15-12-07 à 16:38

J'arrive à

\large \rm z_{n+2}\times \|u_{n+2}+2\| \le z_{n+1}+z_{n}

Or comme \large \rm \forall n\ge n_0, u_n \ge 1, alors \|u_{n+2}+2\| \ge 3

Donc on obtient

\large \blue \fbox{\rm z_{n+2}\le \fra{1}{3}\(z_{n+1}+z_{n}\)

Génial \o/

Merci Nicolas

Posté par
gui_toure : Suite & Radicaux 15-12-07 à 17:29

Par contre la (c) i., a priori je ne vois pas..

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Suite & Radicaux 16-12-07 à 01:36

6.c.(i)
Je ne vois pas où tu bloques. Il suffit de dérouler les calculs.
Par définition :
3$x_{n+1}=z_{n+2}-az_{n+1}
On applique le résultat de la question précédente :
3$x_{n+1}\le\frac{1}{3}\left(z_{n+1}+z_n\right)-az_{n+1}
On factorise par 3$\left(\frac{1}{3}-a\right) pour se rapprocher du résultat final :
3$x_{n+1}\le\left(\frac{1}{3}-a\right)\left(z_{n+1}+\frac{1}{1-3a}z_n\right)
Si on arrive à montrer que 3$\fbox{\frac{1}{1-3a}=-a} (*), alors on pourra conclure que :
3$x_{n+1}\le\left(\frac{1}{3}-a\right)\left(z_{n+1}-az_n\right)
3$\fbox{x_{n+1}\le\left(\frac{1}{3}-a\right)x_n}
Est-ce si dur de montrer (*) ?

Posté par
gui_toure : Suite & Radicaux 16-12-07 à 10:21

Bonjour Nicolas !

En fait j'étais arrivé à \large x_{n+1}\le \(\fra{1}{3}-a\)z_{n+1}+\fra{1}{3}z_n et je ne voyais pas comment rentrer le z_n...

J'ai honte de bloquer sur des trucs comme ça ...

Encore merci Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Suite & Radicaux 16-12-07 à 10:25

N'aie surtout pas honte. Mais ose faire les calculs, en les prenant par les deux bouts à la fois :
(i) en partant des hypothèses vers le résultat ;
(ii) en remontant à rebours à partir du résultat à trouver ;
et tu identifieras un "trou" pas toujours difficile à combler.

Je t'en prie.

Posté par
gui_toure : Suite & Radicaux 16-12-07 à 10:35

Oui notre prof nous parle souvent du sens droite gauche.

Ba encore merci pour tout

A bientôt et bonne journée

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Suite & Radicaux 16-12-07 à 10:39

Je t'en prie.


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