Salut, j'ai plus trop de le temps de rédiger la soluce en entier mais,
il me semble que les valeurs importantes pour a et b sont:
1) b qcq diff de -2/3=> Im f = IR^3
2)b=-2/3 et a=0
3)b=-2/3 et a qcq diff de 0

merci , et j'espere avoir une reponse pour les autres

ya pas d'autre reponse SVP

F(x,y,z)=x+ay+z(b+1)

wassin dans quel lycée/prepa est tu stp?

salut , je ssuis pas francais !!

c'est fini...
Bonsoir,
(3,0,-2)
(1,a,-1)
(1,0, b)

det(M)=3ab+2a=a(3b+2)
donc F est bijectif (endo ) si  a=!0 et b=!-2/3 : dans ce cas ImF=R^3 ( c base de ImF )

Dans un autre cas, même si a=0, f(e1) et f(e3) n'ont aucune chance d'être colinéaire donc Imf = (f(e1), f(e3)). :o C'est violent alors je te présente une méthode plus général...

On peut chercher le noyau et d'en déduire la dimension l'image (selon les différents cas).
si b =-2/3   kerf = R*(-2a,1,3a)
si b=!-2/3 et a=0   kerf = R*e₂   (si a=0  R*e₂ est clairement dans kerf)
si b=!-2/3 et a=!0   kerf ={0}   (on retrouve le même résultat)
Cela permet d'identifier les différents cas. Ici  si b=!0 ou a=!0   alors dim Imf = 2

Ensuite on cherche à "simplifier" Imf = vect(f(e1),f(e2),f(e3)) avec des opérations de Gauss.
si a=!0  Imf = (f(e1), e2 )  par exemple.
si a=0  Imf = (f(e1), f(e3) )  ou encore  Imf = (f(e1), f(e1)+f(e3) )  (il faut que ce soit zolie!)

"Ici si b=0 ou a=0  alors dim Imf=2"

et donc  "si  a=!0 et b=-2/3 ..."