fonction de densité d'une chi-deux
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fonction de densité d'une chi-deux
Posté le 12-12-07 à 06:34
Posté par isab (invité)
Voici mon problème.
Soit Z1, Z2, ... ,Zn des v.a.i.i.d ou Zi~N(0,1).
Soit Z=
Zi2 de i=1 jusqu'à n
Je dois trouver la fonction de densité de Z (qui est en fait une chi-carré avec n degré de liberté).
Je n'y comprend vraiment rien, je crois que le professeur s'est trompé en nous donnant une piste, ça ne se suit pas sur ma feuille (sinon c'est moi qui a mal copié
)
Il me manque certaines notions en maths, donc si vous pouviez me répondre avec le plus de détails possible ce serait très apprécié
. Dans l'exemple que j'ai le prof commence par faire la densité de la chi-deux avec un degré de liberté(mais ça ne concorde pas d'une étape à l'autre donc je ne le mettrai pas), ensuite il dit qu'on peut généraliser pour n avec le théorème de convolution? (C'est quoi le théorème de convolution, j'ai fait une recherche, mais ça m'a l'air bien compliqué 
)
Si vous voyez comment faire ça, avec la suggestion de mon prof ou de n'importe quelle façon, SVP j'ai vraiment besoin d'aide.
Merci beaucoup de votre temps (et de votre patience pour bien détailler)
Voici mon problème.
Soit Z1, Z2, ... ,Zn des v.a.i.i.d ou Zi~N(0,1).
Soit Z=
Zi2 de i=1 jusqu'à nJe dois trouver la fonction de densité de Z (qui est en fait une chi-carré avec n degré de liberté).
Je n'y comprend vraiment rien, je crois que le professeur s'est trompé en nous donnant une piste, ça ne se suit pas sur ma feuille (sinon c'est moi qui a mal copié
)Il me manque certaines notions en maths, donc si vous pouviez me répondre avec le plus de détails possible ce serait très apprécié
. Dans l'exemple que j'ai le prof commence par faire la densité de la chi-deux avec un degré de liberté(mais ça ne concorde pas d'une étape à l'autre donc je ne le mettrai pas), ensuite il dit qu'on peut généraliser pour n avec le théorème de convolution? (C'est quoi le théorème de convolution, j'ai fait une recherche, mais ça m'a l'air bien compliqué )Si vous voyez comment faire ça, avec la suggestion de mon prof ou de n'importe quelle façon, SVP j'ai vraiment besoin d'aide.
Merci beaucoup de votre temps (et de votre patience pour bien détailler)
re : fonction de densité d'une chi-deux Posté le 12-12-07 à 09:00
Posté le 12-12-07 à 09:00Posté par 
stokastik stokastik
Hello isab
Si j'ai bien compris tu as fait sup/spé dans le passé, donc tu comprends assez vite.
Plusieurs méthodes :
1) Si tu connais la fonction génératrice des moments d'une khi2 à un degré de liberté![3$m(t)=E[e^{tZ_1^2}]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3$m(t)=E[e^{tZ_1^2}])
(c'était le sujet de l'un de tes posts récents), tu en déduis celles de la somme des 
car ![3$E[e^{t\sum Z_i^2}]=E[\prod e^{tZ_i^2}]= \prod E[e^{tZ_i^2}]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3$E[e^{t\sum Z_i^2}]=E[\prod e^{tZ_i^2}]= \prod E[e^{tZ_i^2}])
(la dernière égalité s'obtient par l'indépendance entre les 
.
Avec ceci, si tu as "le droit" d'utiliser la fonction génératrice des moments d'une khi2 à n degrés de liberté, il suffit de remarquer que tu as trouvé la même chose. Je sais pas si je suis très clair...
2) La 2ème méthode tu calcules tout sans utiliser de résultat connu : Si X et Y sont des variables aléatoires de densités respectives f et g, et si X et Y sont indépendantes, alors la densité de X+Y est le produit de convolution de f et de g, c'est-à-dire = \int f(u)g(z-u) du)
stokastik stokastikHello isab
Si j'ai bien compris tu as fait sup/spé dans le passé, donc tu comprends assez vite.
Plusieurs méthodes :
1) Si tu connais la fonction génératrice des moments d'une khi2 à un degré de liberté
Avec ceci, si tu as "le droit" d'utiliser la fonction génératrice des moments d'une khi2 à n degrés de liberté, il suffit de remarquer que tu as trouvé la même chose. Je sais pas si je suis très clair...
2) La 2ème méthode tu calcules tout sans utiliser de résultat connu : Si X et Y sont des variables aléatoires de densités respectives f et g, et si X et Y sont indépendantes, alors la densité de X+Y est le produit de convolution de f et de g, c'est-à-dire
je n'ai pas tout compris Posté le 12-12-07 à 18:08
Posté le 12-12-07 à 18:08Posté par isab (invité)
Mon problème, c'est que je comprend la logique de ta première explication, mais je n'ai aucune idée de comment passer de la fonction génératrice des moments à la fonction de densité. Pour le 2e cas, je n'ai jamais vu le produit de convolution, donc sans exemple, pour moi c'est vraiment pas clair.
Finalement j'ai un peu compris ce que j'avais sur ma feuille, il faudrait juste que je puisse trouver comment passer d'une étape à l'autre.
Voici ce que j'ai: (Z~N(0,1), donc fZ est la fonction de densité d'une normale (0,1))
fZ²(y)=(1/(2
y))(fZ(y)+ fZ(-y))
fZ²(y)=(1/(2y))*2((1/2
)e-(y/2))
Pour passer de la première à la 2e, je n'ai pas de problème, mon problème, c'est de passer de la 2e à celle ci-dessous
fZ²(y)=(1/2)e-(y/2)(y/2)(1/2)-1
C'est probablement juste des manipulations algébriques, mais je n'arrive pas à trouver
Merci
Mon problème, c'est que je comprend la logique de ta première explication, mais je n'ai aucune idée de comment passer de la fonction génératrice des moments à la fonction de densité. Pour le 2e cas, je n'ai jamais vu le produit de convolution, donc sans exemple, pour moi c'est vraiment pas clair.
Finalement j'ai un peu compris ce que j'avais sur ma feuille, il faudrait juste que je puisse trouver comment passer d'une étape à l'autre.
Voici ce que j'ai: (Z~N(0,1), donc fZ est la fonction de densité d'une normale (0,1))
fZ²(y)=(1/(2
y))(fZ(y)+ fZ(-y))fZ²(y)=(1/(2
y))*2((1/2)e-(y/2))Pour passer de la première à la 2e, je n'ai pas de problème, mon problème, c'est de passer de la 2e à celle ci-dessous
fZ²(y)=(1/2)e-(y/2)(y/2)(1/2)-1
C'est probablement juste des manipulations algébriques, mais je n'arrive pas à trouver
Merci
re : fonction de densité d'une chi-deux Posté le 12-12-07 à 18:23
Posté le 12-12-07 à 18:23Posté par stokastik stokastik
En la "reconnaissant" : si tu calcules la fonction génératrice de X, et que tu constates que c'est la même que la fonction génératrice d'une khi2 (que tu as dans un formulaire), alors tu peux en déduire que la loi de X est la khi2... donc tu utilises à nouveau ton formulaire pour connaitre la densité de X : c'est la densité d'une khi2.
... je t'explique le produit de convolution dans le post suivant...
stokastik stokastikCitation :
comment passer de la fonction génératrice des moments à la fonction de densité
comment passer de la fonction génératrice des moments à la fonction de densité
En la "reconnaissant" : si tu calcules la fonction génératrice de X, et que tu constates que c'est la même que la fonction génératrice d'une khi2 (que tu as dans un formulaire), alors tu peux en déduire que la loi de X est la khi2... donc tu utilises à nouveau ton formulaire pour connaitre la densité de X : c'est la densité d'une khi2.
... je t'explique le produit de convolution dans le post suivant...
re : fonction de densité d'une chi-deux Posté le 12-12-07 à 18:28
Posté le 12-12-07 à 18:28Posté par stokastik stokastik
Produit de convolution : le plus simple est de comprendre pour des lois discrètes.
Soient X et Y des v.a. indépendentes qui prennent des valeurs entières 0,1,2,3,....
Quelle est la loi de X+Y ?
Il s'agit de déterminer P(X+Y=n) pour tout n.
On écrit = \sum_k P(X=k, Y=n-k) = \sum_k P(X=k)P(Y=n-k))
On a la formule analogue avec les densités :
 = \int f_X(u) f_Y(z-u) du)
.
Mais ce n'est certes pas une démonstration.
stokastik stokastikProduit de convolution : le plus simple est de comprendre pour des lois discrètes.
Soient X et Y des v.a. indépendentes qui prennent des valeurs entières 0,1,2,3,....
Quelle est la loi de X+Y ?
Il s'agit de déterminer P(X+Y=n) pour tout n.
On écrit
On a la formule analogue avec les densités :
Mais ce n'est certes pas une démonstration.
re : fonction de densité d'une chi-deux Posté le 12-12-07 à 18:32
Posté le 12-12-07 à 18:32Posté par stokastik stokastik
J'ai l'impression que c'est le calcul de la densité d'une khi2 à 1 degré de liberté dont tu parles en-dessous...
... tu mélanges les questions on ne va pas s'en sortir...
... à part ça ton calcul est trop illisible, mais j'ai l'impression qu'on a juste remplacé la racine carrée par un exposant 1/2 et après comme tu dis c'est du calcul littéral de base...
stokastik stokastikCitation :
Finalement j'ai un peu compris ce que j'avais sur ma feuille, il faudrait juste que je puisse trouver comment passer d'une étape à l'autre [...]
Finalement j'ai un peu compris ce que j'avais sur ma feuille, il faudrait juste que je puisse trouver comment passer d'une étape à l'autre [...]
J'ai l'impression que c'est le calcul de la densité d'une khi2 à 1 degré de liberté dont tu parles en-dessous...
... tu mélanges les questions on ne va pas s'en sortir...
... à part ça ton calcul est trop illisible, mais j'ai l'impression qu'on a juste remplacé la racine carrée par un exposant 1/2 et après comme tu dis c'est du calcul littéral de base...
re : fonction de densité d'une chi-deux Posté le 12-12-07 à 20:45
Posté le 12-12-07 à 20:45Posté par isab (invité)
Merci beaucoup d'avoir pris le temps de répondre à toutes mes questions. Je n'ai pas tout compris, mais je suis pas mal moins perdue qu'au début (6 ans sans faire de maths, ça en fait perdre des bouts lol).
Merci
Merci beaucoup d'avoir pris le temps de répondre à toutes mes questions. Je n'ai pas tout compris, mais je suis pas mal moins perdue qu'au début (6 ans sans faire de maths, ça en fait perdre des bouts lol).
Merci
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