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mesure et intégration

Posté par
romu 13-12-07 à 00:19

Bonsoir, je n'arrive pas à montrer ce lemme:

Citation :
Soit D un ensemble fini ou dénombrable.

pour tout k\in D,\ (a_{n,k})_n est une suite de \mathbb{R}^+ et a_k\in \overline{\mathbb{R}^+}.


On a

3$[\forall k\in D,\ a_{n,k}\ \uparrow_{n\rightarrow \infty}\ a_k]\qquad \Longrightarrow \qquad [\Bigsum_{k\in D} a_{n,k}\ \uparrow_{n\rightarrow \infty}\ \Bigsum_{k\in D} a_{n,k}].


Je pense qu'il faut considérer une mesure de comptage ou qui ressemble et utiliser le théorème de convergence monotonone,
mais je n'arrive pas à combiner ces outils.

Merci pour vos indications.

Posté par
romure : mesure et intégration 13-12-07 à 00:40

Pardon je voulais dire:

Citation :
On a

3$[\forall k\in D,\ 0\leq a_{n,k}\ \uparrow_{n\rightarrow \infty}\ a_k]\qquad \Longrightarrow \qquad [\Bigsum_{k\in D} a_{n,k}\ \uparrow_{n\rightarrow \infty}\ \Bigsum_{k\in D} a_{n,k}].

Posté par
Rodrigore : mesure et intégration 13-12-07 à 01:22

Ben oui tu as la bonne idée il n'y a plus rien à faire, peut etre devrait tu poser an la fonction définie sur D par an(k)=an,k et a par a(k)=k

Alors (an) est une suite de fonctions positives qui converge en croissant vers a, le theo de convergencemontone te permet de contclure en prenant la mesure de comptage sur D.

Posté par
romure : mesure et intégration 13-12-07 à 12:33

Bonjour Rodrigo,



donc je considère f_n,\ f : (D,\mathcal{P}(D))\rightarrow (\overline{\mathbb{R}^+},\mathcal{B}(\overline{\mathbb{R}^+})),

telles que pour tout k\in D, f_n(k)=a_{n,k}\mbox{ et } f(k)=a_k,

f_n et f sont mesurables positives,

f_n tend simplement vers f en croissant.

D'après le théorème de convergence monotone, j'ai

3$\lim_n \bigint_D f_n d\nu_D = \bigint_D f d\nu_D


Après j'ai du mal à voir pourquoi:

\lim_n \bigint_D f_n d\nu_D=\bigsum_{k\in D} a_{n,k}

\bigint_D f d\nu_D = \bigsum_{k\in D} a_k


où \nu_D est donc la mesure de comptage sur (D,\mathcal{P}(D)):

\nu_D : A\in \mathcal{P}(D) \rightarrow \Bigsum_{k\in D}\delta_{k}(A).

Posté par
romure : mesure et intégration 13-12-07 à 15:45

pardon je voulais dire \bigint_D f_n d\nu_D = \bigsum_{k\in D} a_{an,k}

Je ne vois pas comment on sait calculer ces deux intégrales.

Posté par
romure : mesure et intégration 13-12-07 à 15:46

pardon, je veux dire en fait \bigint_D f_n d\nu_D = \bigsum_{k\in D} a_{n,k}

Posté par
romure : mesure et intégration 13-12-07 à 19:33

est-ce que f_n et f sont des fonctions simples?

j'arrive pas à les exprimer en combinaisons linéaires de fonctions indicatrices, et du coup je sais pas les intégrer

Posté par
romure : mesure et intégration 13-12-07 à 19:39

et pour pouvoir considérer la mesure de comptage, il ne faut pas que D soit une partie de \mathbb{N}?

Posté par
romure : mesure et intégration 13-12-07 à 20:56

bon tant pis je me suis bien embrouillé

je m'y remettrai plus tard, j'y reverras peut être plus clair.

merci en tout cas Rodrigo.

Posté par
Rodrigore : mesure et intégration 13-12-07 à 21:00

Heu non il n'est pas nécéssaire que D soit une parie de N pour amesure de comptage.

Et pour la mesure de compatge on a par défnition egalité entre intégrale et somme (tel que tu l'as ecrit dans ton message 15:46)

Une façon simple de le voir est de remarquer que tu peux changer tà fonction sur un ensemble de mesure nulle et donc tu "mets" ta fonction à zero aillerus que sur le points de D.

Posté par
romure : mesure et intégration 13-12-07 à 21:15

Citation :
Et pour la mesure de compatge on a par défnition egalité entre intégrale et somme (tel que tu l'as ecrit dans ton message 15:46)


c'est ça qui me pose souci, je n'ai aps cette définition et j'arrive pas à raccorder.

En fait dans tous les cours on définit l'intégrale comme ça (en reprenant ici le procédé avec \mu la mesure de comptage relativement à D:


on définit d'abord les intégrales des indicatrices mesurables:

\int \mathbb{1_A} d\mu = \mu(A) = \bigsum_{k\in D} \delta_k(A)=card(A\cap D)

puis les fonctions simples qui sont combinaisons linéaires finies positives d'indicatrice:

\int \bigsum_{i\in I} a_i\mathbb{1_{A_i}} d\mu = \bigsum_{i\in I} a_i \mu(A_i) = \bigsum_{i\in I} a_i \bigsum_{k\in D} \delta_k(A_i)


et puis les fonctions mesurables f positives où son intégrale est le sup des intégrales des fonctions simples h telles que h\leq f

et donc f et f_n sont des fontions mesurables positives et il faut que je détermine quelles sont les fonctions simples qui sont "sous" f et f_n et que je les intègre et qu'ensuite que je regarde leur sup? et ça va me donner cette égalité?

Posté par
romure : mesure et intégration 13-12-07 à 21:18

Citation :
Une façon simple de le voir est de remarquer que tu peux changer tà fonction sur un ensemble de mesure nulle et donc tu "mets" ta fonction à zero aillerus que sur le points de D.


juste une chose, un esemble de mesure nulle pour la mesure de comptage c'est une ensemble qui n'a pas de points en commun avec D, c'est bien ça?

et comme elle les fonctions sont définies sur D, c'est jsute l'ensemble vide?

Posté par
romure : mesure et intégration 15-12-07 à 21:15

Bon en fait, je suis allé voir le prof, et effectivement ça ne collait pas avec le plan de son cours,
parce qu'on apprend à intégrer par rapport à la mesure de comptage après avoir vu ce lemme,
et si j'ai compris on va utiliser ce lemme pour intégrer sur la mesure de comptage, donc on tourne en rond.

Donc en fait il m'a conseillé d'y aller à la main avec la notion de famille sommable.

En tout cas merci pour ta patience Rodrigo


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