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Application dérivable dont la dérivée est bornée.

Posté par
H_aldnoer
15-12-07 à 15:02

Bonjour,

j'ai vu un résultat un peu vague dans un td, j'aimerais si possible une explication :

Si une application f dérivable, de I=(a,b) (un intervalle de \mathbb{R}) à valeurs dans \mathbb{R} est telle que son application dérivée f' soit bornée, alors f admet une limite l.

Comment le démontre-t-on ?

Posté par
Nightmare
re : Application dérivable dont la dérivée est bornée. 15-12-07 à 15:04

salut,

euh une limite en quoi?

Posté par
H_aldnoer
re : Application dérivable dont la dérivée est bornée. 15-12-07 à 15:05

justement ce n'est pas dit...
mais je pense que ça doit être en a (ou b)

Posté par
1 Schumi 1
re : Application dérivable dont la dérivée est bornée. 15-12-07 à 17:04

Salut,

Bah, si f est dérivable sur I, elle est continue sur I; donc je vois pas trop le sens de la question...

Posté par
1 Schumi 1
re : Application dérivable dont la dérivée est bornée. 15-12-07 à 17:05

Ah oups, autant pour moi, j'ai cru que I était un intervalle. Je retire ce que j'ai dit.
A mon avis, c'est en a ET en b.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Application dérivable dont la dérivée est bornée. 15-12-07 à 17:07

Bonjour

L'idée est que f peut être dérivable sur ]a,b[ sans avoir de limites en a et b. (Comme 1/sin(x) sur ]0,[. C'est vrai que si f' est bornée alors f admet des limites aux bornes. Ca se démontre en utilisant le théorème des accroissements finis et le critère de Cauchy pour les limites.

Posté par
H_aldnoer
re : Application dérivable dont la dérivée est bornée. 15-12-07 à 17:11

Bonjour Camélia,
pourrai-je avoir la démonstration ?

Posté par
1 Schumi 1
re : Application dérivable dont la dérivée est bornée. 15-12-07 à 17:11

Elle va te dire de chercher.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Application dérivable dont la dérivée est bornée. 15-12-07 à 17:18

Soit M un majorant de |f'(x)|. A cause du théorème des valeurs intermédiaires on a |f(x)-f(x')|M|x-x'|.

Soit >0. Si x-a</M et x-a</M, on a |f(x)-f(x')| , et ceci est exactement le critère de Cauchy pour l'existence d'une limite au point a.

Posté par
H_aldnoer
re : Application dérivable dont la dérivée est bornée. 15-12-07 à 17:29

Ok!
(je suppose que c'est x-a et x'-a au début de la démonstration)

Posté par
jeanseb
re : Application dérivable dont la dérivée est bornée. 15-12-07 à 18:26

Citation :
Elle va te dire de chercher


Mauvaise langue! Et en plus, démenti par les faits!

Posté par
1 Schumi 1
re : Application dérivable dont la dérivée est bornée. 15-12-07 à 18:27

Salut jeanseb. C'était tout à la gloire de Camélia pourtant.

Posté par
jeanseb
re : Application dérivable dont la dérivée est bornée. 15-12-07 à 23:01

Posté par
Camélia Correcteur
re : Application dérivable dont la dérivée est bornée. 16-12-07 à 15:04

Je lis... je lis... je finirai par me venger!!!

Posté par
H_aldnoer
re : Application dérivable dont la dérivée est bornée. 16-12-07 à 15:09

Camélia, la prochaine fois fais moi chercher !!



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