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problème ensemble dénombrables

   
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maths supproblème ensemble dénombrables

#msg1510814 Posté le 15-12-07 à 16:30
Posté par Profillittlefleabass littlefleabass

Bonjour,
notre prof d'analyse nous a sorti un exercice de je sais pas où en ne nous donnant aucune méthode. Voici l'exo:

1) Etbalir une injection dans de la réunion disjointe des produits cartésiens N

Pour cette question j'ai pris l'injection qui a n1,...,nN associe p1n1x...xpNnN où pi est le ième nombre premier.
Je montre qu'elle est injective en utilisant l'unicité de la décomposition en facteurs premiers.
Je pense que ça c'est bon. C'est aprés que ça se complique...

Soit ^={r tq r est algèbrique, (ie il existe un polynome P(X)[X] tq P(r)=0)}, on se propose de montrer que ^ est dénombrable.

On définit : ^-{0} N1N comme l'application qui à r ^-{0}  associe la suite des coefficients (1,ad-1,..,a0) d+1 du polynome normalisé de plus petit degré P(X)=Xd+ad-1Xd-1+...+a0 tel que P(r)=0
On acceptera que P(X) est unique et sans racine multiple

2) Vérifier que pour tout point x N1N l'image inverse -1(x) ^-{0} est finie.

Pour cela il faudrait montrer que cette image inverse est en bijection avec {1,..,n} mais je ne sais vraiment pas comment faire (l'expression de l'image inverse est vraiment compliquée!). Donc si vous avez des indications à me donner pour partir sur cette question...

3) Indiquer comment à partir du choix d'une numération r1,...,rd de toutes les racines pour chaque polynome P(X)=Xd+ad-1Xd-1+...+a0 défini par (1,ad-1,..,a0) Im() on peut construire une injection :
^-{0} N1((N)x) factorisant (ie la composition ^-{0} N1((Nx)N1N est égale à (la 2ème flèche étant donnée par la somme des applications canoniquesNxN)

Alors là j'ai essayé de comprendre l'énoncé.. et je sais vraiment pas comment chercher cette injection. Le prof s'est laché sur cette question!

4) Conclure que -{0} est dénombrable et à fortiori que ^-{0} l'est aussi

Je pense que le prof s'est trompé là non? parce qu'on ne parle nulle part de -{0}...

Enfin bref, j'y comprends pas grand chose donc si vous pouviez me donner quelques indications ça serait sympa
re : problème ensemble dénombrables#msg1510885 Posté le 15-12-07 à 16:51
Posté par Profilerfff erfff

Je dis peut être une connerie mais pour la question 2) il suffit de voir qu'un polynome n'a qu'un nombre fini de racines...
re : problème ensemble dénombrables#msg1510889 Posté le 15-12-07 à 16:54
Posté par Profilromu romu

Salut, je crois que j'ai le même devoir à faire.

Pour la 2) je pense qu'il faut voir le fait que x est un polynôme, et est dans l'un des \prod^n\mathbb{Q} (ie de degré au plus = n) donc admet au plus n racines (les \varphi^{-1}(x)).
re : problème ensemble dénombrables#msg1510906 Posté le 15-12-07 à 17:00
Posté par Profillittlefleabass littlefleabass

Ouais c'est une bonne idée, je m'étais compliquée la vie avec -1...
Merci!

Bon aprés la question 3 c'est une autre histoire!!
re : problème ensemble dénombrables#msg1510940 Posté le 15-12-07 à 17:12
Posté par Profilromu romu

oui j'avoue c'est pas très clair.

Par contre c'est plutôt (\cup_{n\geq 1} \prod^n)\times \mathbb{N}, l'ensemble des couples du type (polynôme,entier).

Je pensais à

r\rightarrow (P(X),i) où i est le numéro donné la racine r de P (elles sont numérotées par hypothèse).


Ce que je trouve pas très clair c'est cette phrase:

Citation :
la 2ème flèche étant donnée par la somme des applications canoniques...
re : problème ensemble dénombrables#msg1510946 Posté le 15-12-07 à 17:15
Posté par Profillittlefleabass littlefleabass

oui rien n'est clair dans cette question... par contre t'as raison je me suis trompée dans les parenthèses c'est bien l'ensembles des couples (polynomes,entiers).
re : problème ensemble dénombrables#msg1510969 Posté le 15-12-07 à 17:23
Posté par Profilromu romu

Bon je regarderai ça un peu plus tard dans la soirée, faut que je boucle cette satanée théorie de la mesure avant.

ça a marché le devoir d'algèbre, j'ai trouvé que c'était bien dur et long
re : problème ensemble dénombrables#msg1510970 Posté le 15-12-07 à 17:25
Posté par Profillittlefleabass littlefleabass

Bah j'lai trouvé long mais faisable, il a pas trop fait son salaud jtrouve.
Allez on se motive pour la mesure !!
(mais t'es qui au fait??)
re : problème ensemble dénombrables#msg1510971 Posté le 15-12-07 à 17:25
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

Je poste ici juste pour suivre. Faites comme si j'étais pas là.

re : problème ensemble dénombrables#msg1511175 Posté le 15-12-07 à 18:20
Posté par Profilromu romu

ben je suis romuald d'où mon pseudo

on doit être dans la même classe mais je crois pas qu'on se connaisse

Salut Ayoub (si t'as des idées n'hésite pas à nous en faire part, cet exo va nous faire trimer).
re : problème ensemble dénombrables#msg1511321 Posté le 15-12-07 à 19:08
Posté par Profillittlefleabass littlefleabass

Ok donc en fait ya toute la L3 maths de montpellier sur ce forum
Ben au moins si on peut faire le DM à plusieurs... il est trop bidon ce prof
re : problème ensemble dénombrables#msg1511347 Posté le 15-12-07 à 19:15
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

Bon, j'essaie de m'y coller à ton exo.
Par contre, est-ce-que tu peux mieux expliquer qui est phi? Je comprend pas bien l'ensemble d'arrivée?
re : problème ensemble dénombrables#msg1511385 Posté le 15-12-07 à 19:26
Posté par Profilromu romu

\varphi est la fonction qui prend un nombre algébrique r et qui l'envoie vers le polynôme  à coeff rationnels P de plus petit degré avec le coefficent dominant =1 tel que P(r)=0.

L'ensemble d'arrivée en fait, c'est que


\mathbb{Q}[X]_N (l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à N) est en bijection avec \bigprod_{i=1}^N \mathbb{Q}

ie le poly a_0+ a_1X+...+a_{N-1}X^{N-1} correspond au N-uplet (a_0,a_1,...,a_{N-1}) de \bigprod_{i=1}^N \mathbb{Q}.

Et donc pour considérer tous les polynômes, on fait l'union sur N, ie \bigcup_{N\geq 1}\mathbb{Q}[X]_N ou encore \bigcup_{N\geq 1} \bigprod_{i=1}^N\ \mathbb{Q}.
re : problème ensemble dénombrables#msg1511392 Posté le 15-12-07 à 19:28
Posté par Profilromu romu

pardon, par \bigprod_{i=1}^N \mathbb{Q}, j'entends \mathbb{Q}\times ...\times \mathbb{Q} (N fois).
re : problème ensemble dénombrables#msg1511405 Posté le 15-12-07 à 19:31
Posté par Profilromu romu

Citation :
Ok donc en fait ya toute la L3 maths de montpellier sur ce forum
Ben au moins si on peut faire le DM à plusieurs... il est trop bidon ce prof


je savais pas , j'ai croisé un collègue une fois (fadetoblacke je crois) et une fois un prof du bâtiment de maths.

Mouais je crois que je l'ai vu une fois ce prof, j'ai pas accroché du tout
re : problème ensemble dénombrables#msg1511962 Posté le 16-12-07 à 02:27
Posté par Profilromu romu

bon ben je crois pas que je chercherai aujourd'hui, par contre pour la 4) le prof c'est pas trompé, tu as mal lu, il parle de \overline{\mathbb{Q}*} et non de \mathbb{Q}*.
re : problème ensemble dénombrables#msg1511989 Posté le 16-12-07 à 08:00
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

Bon déjà pour la 2):

2) Tu prends un poly non nul (c'est le plus important) et en gros tu cherches l'ensemble de ses racines. C'est évident que c'est un ensemble fini de Q^\{0} non?

3) J'essaie de comprendre l'énoncé d'abord mais ça a pas l'air si méchant que ça. Je le ferai savoir si je trouve (ou pas) quelque chose.

re : problème ensemble dénombrables#msg1512273 Posté le 16-12-07 à 11:11
Posté par Profilromu romu

oui c'est vrai, il faut rejeter le polynôme nul, j'avais pas fait gaffe.

Mais pour la 3) cette histoire de somme d'applications canoniques ?

je vois vraiment pas ce que c'est.
re : problème ensemble dénombrables#msg1512283 Posté le 16-12-07 à 11:15
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

La deuxième flèche c'est tout bête ça vient du fait que Q est dénombrable.

re : problème ensemble dénombrables#msg1512297 Posté le 16-12-07 à 11:21
Posté par Profilromu romu

oui je suis d'accord pour l'existence d'une injection (et même d'une bijection), mais apparemment il sous-entend une application bien précise derrière cette flèche et je vois du tout ce que c'est.
J'ai du mal sur la question3#msg1518332 Posté le 18-12-07 à 23:29
Posté par Profilromain3772 romain3772

Bonjour, j'ai le même dm que littlefleabass et je peine sur la question 3 de son post.
Si quelqu'un a une idée pour nous sauver ce serai sympa svp.
Merci
re : problème ensemble dénombrables#msg1518512 Posté le 19-12-07 à 10:42
Posté par Profilromu romu

Bon pour la question 1), c'est le contraire en fait.


On veut une injection de \Bigcup_{N\geq 1} (\Bigprod^N \mathbb{N}) \rightarrow \mathbb{N}, mais je pense qu'on peut  quand même exploiter l'idée de la décomposition en facteurs premiers.
re : problème ensemble dénombrables#msg1518564 Posté le 19-12-07 à 11:17
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

Pas besoin je pense.

Je ferai comme ça:

Soit \rm f l'application de \rm \mathbb{N}^2 dans \rm\mathbb{N} dont le processus associatif est \rm (m,n)|\to \frac{(m+n)(m+n+1)}{2}+m. On vérifie assez facilement qu'il s'agit d'une bijection. Cela nous prouve que \rm\mathbb{N}^2 et \rm\mathbb{N} sont équipotents.
Une récurrence triviale fournit alors que pour tout \rm m\in\mathbb{N}, \rm\mathbb{N}^m et \rm\mathbb{N} sont équipotents et donc que \rm\mathbb{N}^m est dénombrable.
Comme toute union dénombrable de dénombrables l'est aussi, on en déduit le résultat.

re : problème ensemble dénombrables#msg1518602 Posté le 19-12-07 à 11:58
Posté par Profilromu romu

salut ayoub, je suis d'accord avec toi,
mais ici on demande d'exhiber une telle injection et pas seulement d'affirmer son existence.
re : problème ensemble dénombrables#msg1518670 Posté le 19-12-07 à 13:04
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

Autant pour moi, j'avais mal compris la question.

re : problème ensemble dénombrables#msg1518761 Posté le 19-12-07 à 13:44
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

romu >> Ce qu'à fait "littlefleabass" à sa première question est bon, c'est juste que c'est un peu imprécis. Mais la question telle qu'elle l'a posée c'est exactement ce que tu as reformulé juste après.

re : problème ensemble dénombrables#msg1518770 Posté le 19-12-07 à 13:52
Posté par Profilromu romu

Oui, et je te le confirme, j'ai le sujet du prof,
littlefleabass a recopié partiellement la question 1),
elle était constituée de l'énoncé qu'elle a écrit en gras et de la transcription en symbole que j'ai donné dans le post de 10:42.

Reste cette fameuse question 3)
re : problème ensemble dénombrables#msg1518771 Posté le 19-12-07 à 13:53
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

Bon, ben c'est déjà ça de fait. A mon avis, c'est pas si terrible que ça; suffit de bien mettre sa tête en place, de boire un bon litre de café et ça devrait faire l'affaire.
re : problème ensemble dénombrables#msg1518792 Posté le 19-12-07 à 14:00
Posté par Profilromu romu

bon pour el litre de café, c'est fait mais la tête en place c'est difficile (trop de retard sur le sommeil )

ce qui me bloque c'est cette histoire d'applications canoniques (donc je comprends pas l'énoncé),

dans ce genre de situation pour moi c'est une projection. Mais je vois pas pourquoi faire la somme.
re : problème ensemble dénombrables#msg1518798 Posté le 19-12-07 à 14:02
Posté par Profilromu romu

lol je viens de tilter qu'il n'y a pas d'union.
re : problème ensemble dénombrables#msg1518800 Posté le 19-12-07 à 14:02
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

La somme à mon avis, c'est pour l'union. Maintenant, j'avoue que les applications canoniques je les ai toujours évitées autant que possible. Là manfestement, on peut pas s'en passer.
re : problème ensemble dénombrables#msg1518804 Posté le 19-12-07 à 14:03
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

On est d'accord dans ce cas.
re : problème ensemble dénombrables#msg1518814 Posté le 19-12-07 à 14:06
Posté par Profilromu romu

vi je crois que je vais passer à deux litres, faire ces satanées probas et analyse numérique, et je rédige ça. (vivement les vacances )
re : problème ensemble dénombrables#msg1518820 Posté le 19-12-07 à 14:07
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

Les probas, berk... c'est crââââde ça.
Moi je dis vive l'algèbre!
re : problème ensemble dénombrables#msg1518826 Posté le 19-12-07 à 14:12
Posté par Profilromu romu

tu as regardé un peu ce que ça donne les probas dans le secondaire?

enfin je suis d'accord avec toi, je prèfère ce qui est algèbre/topologie.
re : problème ensemble dénombrables#msg1518832 Posté le 19-12-07 à 14:14
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

Non, ce que j'ai vu en Term a suffit pour me dégouter à vie.
M'enfin chacun ses goûts, t'as toutafé le droit d'aimer les probas.

Bon, si on le tordais pour de bon c'te exo?

re : problème ensemble dénombrables#msg1518887 Posté le 19-12-07 à 14:32
Posté par Profilromu romu

ok, donc pour formaliser ça,

pour tout N\geq 1, les applications canoniques sont donc \psi_N : (\bigprod^N)\times \mathbb{N} \rightarrow \bigprod^n \mathbb{Q}, telles que \psi_N(P,n) = P.


Donc la somme des applications canoniques est

3$\psi : (\bigcup_{N\geq 1} \bigprod^N)\times \mathbb{N} \rightarrow \bigcup_{N\geq 1}\bigprod^n \mathbb{Q},

telles que \psi(P,n) = \Bigsum_{N\geq 1} \psi_N(P,n).
re : problème ensemble dénombrables#msg1518900 Posté le 19-12-07 à 14:35
Posté par Profilromu romu

j'aurai du faire un aperçu, je reposte:

pour tout N\geq 1, les applications canoniques sont donc \psi_N : (\bigprod^N \mathbb{Q})\times \mathbb{N} \rightarrow \bigprod^N \mathbb{Q}, telles que \psi_N(P,n) = P.


Donc la somme des applications canoniques est

3$\psi : (\bigcup_{N\geq 1} \bigprod^N \mathbb{Q})\times \mathbb{N} \rightarrow \bigcup_{N\geq 1}\bigprod^N \mathbb{Q},

telles que \psi(P,n) = \Bigsum_{N\geq 1} \psi_N(P,n)=\Bigsum_{N\geq 1}P.

ça me semble louche quand même. Le prof aurait quand même formuler plus soigneusement son énoncé.
re : problème ensemble dénombrables#msg1518925 Posté le 19-12-07 à 14:43
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

Faut dire que depuis le début, l'énoncé est pas terrible. Et puis, ça nous avance pas à grand chose. Cependant, grâce à ce que t'as écrit, je crois avoir compris sa démarche et donc je vois à peu près sur quoi on va devoir tomber.
Je te tiens au courant, je dois y aller là.

re : problème ensemble dénombrables#msg1520860 Posté le 20-12-07 à 12:41
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

Bon, la première flèche, je sais qui c'est:

C'est l'application qui à tout élément de Q^\{0} lui associe le polynôme de degré minimal dont il est racine et à côté, on met son numéro (bah oui, puisqu'on numérote les racines).
Pour la deuxième flèche, j'ai une application qui convient bien mais c'est une application de \rm\(\Bigprod_{k=1}^{N}\mathbb{Q}\)\times \mathbb{N} dans \rm\Bigprod_{k=1}^{N+1}\mathbb{Q} et c'est bien une application canonique dont on fait la somme juste après.

Une coquille dans l'énoncé?

re : problème ensemble dénombrables#msg1521727 Posté le 20-12-07 à 22:50
Posté par Profilromu romu

possible qu'il est fait une coquille, je viens de revérifier l'énoncé, le prof n'a pas indexé jusqu'à N+1.

Sinon je suis d'accord avec toi cette application convient.
re : problème ensemble dénombrables#msg1521830 Posté le 21-12-07 à 08:30
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

Pour la deuxième flèche, je pensais à l'injection canonique, en considérant tous les entiers comme des rationnels. C'est une sorte de projection, mais dans un ensemble "plus grand".

re : problème ensemble dénombrables#msg1522755 Posté le 22-12-07 à 03:01
Posté par Profilromu romu

oui, enfin c'est bien ce que j'avais compris de ton post de ton psot du  20/12/2007 à 12:41.
re : problème ensemble dénombrables#msg1522768 Posté le 22-12-07 à 07:38
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

Bon, la 4) est complètement triviale, donc c'est fini.


Ayoub.

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