Bonjour, pour la première inégalité :
x_k*y_k = x_k*y_n-k=x_ky_n-k
Ca va mieux là ?

- Je pense qu'un argument du même type suffit pour la 2e inégalité...(enfin là je ne vois pas de trucs évident)

Bon courage

Bonsoir,
Pour la première inégalité:
Comme on a des termes positifs _i=0ⁿy_i > y_n-k ... ( xk yk = [ xk yk ] )

oups!! j'ai rien dis...

Merci erfff et lologuem !

Je vais essayer de rédiger ça rigoureusement à partir de vos indications (j'essayerai l'autre partie de l'inégalité avec cette même méthode).

lologuem : Ah ? pourtant votre raisonnement me semblait juste, ne l'est il pas finalement ?

Il est juste pour démontrer autre chose... xk yk >zn
Pour le 2eme j'ai essayer en décomposant la double somme pour n=2, de la façon suivante :
= Z0  =  x0y0
  +z1    +x0y1 +x1y0
  +z2    +x0y2 +x1y1 +x2y0
  +z3    +x0y3 +x1y2 +x2y1 +x3y0
  +z4    +x0y4 +x1y3 +x2y2 +x3y1 +x4y0

On voit apparaitre les sommes sur les 3 premières lignes des 3 première colonne. Essaye de faire la mème chose avec "n"...

Ce que erfff a écrit est exacte : on a égalité pour des sommes finies. Pour que cela reste vrai pour des sommes (infinies) on doit avoir l'absolue convergence !!! (zn est le produit de Cauchy)

J'ai une idée pour la deuxième :

- Déjà, (Zn) est évidemment croissante (pas de soucis)

- xkyk = zn = zn+zn+zn+...+zn (n fois) (la variable de sommation est k et non n)
= n*zn

- Or la somme jusqu'à 2n : zk=zk (de 0 à n) + zk (de n+1 à 2n)zk (de 0 à n)+zn (de n+1 à 2n) (on remplace les zk par zn (le plus petit des zk dans la somme qui va de n+1 à 2n)
d'où : zk (de 0 à n)+zk (de n+1 à 2n) zk (de 0 à n)+ n*zn = (truc positif) + n*zn d'où la 2eme inégalité

J'ai fait qques erreurs sur les indices (des n qui devraient être des n+1...ca ne change rien au raisonnement.
Désolé.

On est d*b*l* !!!!!!!! on se prend la tête depuis tout à l'heure !
erff a montré l'égalité entre les 2 premiers termes :
(0->2n)zn = (0->n)zk + (n+1->2n)zk > (0->n)zn = (0->n)xk (0->n)yk

Et en fait c'est même pas ça
et erfff aussi a tord depuis le départ...
Ca a l'air de rien mais c'est énorme le produit de Cauchy!!!

Je change les indices pour que ce soit plus clair...
Soit n
_j=0->nyj  >= _j=0->ky(k-j)  avec k<=n  car on prend un nombre réduit de termes yj
d'où pour tout k,  xk*_j=0->nyj  >=  xk*_j=0->ky(k-j) = _j=0->k xk*y(k-j)
En sommant :
_k=0->nxk *_j=0->nyj =  _k=0->n { xk *_j=0->nyj }  >=  _k=0->n{ _j=0->k xk*y(k-j) }
Voilà la première partie est faite : je peux dormir !!!

Wouaaaooouuuhh!! c'est moche!
Pour le deuxième c'est le même type de raisonnement sauf que cette fois on prend un plus grand nombre de termes yj. Tu remarqueras que les calculs de sommes avec des indices c'est casse bonbon et pas du tout adapté à l'écriture au clavier...
Bon courage!!!

Oh mon Dieu !

Mon Dieu pour plusieurs choses...
La première, c'est que j'ai le clavier imprimer sur la joue et le yeux rouges... :-/
La seconde, c'est d'avoir (jusqu'à 1h33) été toujours d'accord avec votre raisonnement et donc de m'être laissé convaincre. Finalement vous avez bien raison c'est vraiment *casse bonbon* ^_^

Merci infiniment, je vais appliquer cette démarche pour la seconde partie et recopierais tout cela ici dès ce soir.

Merci encore lologuem !!