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Suite de fermés emboités
Bonjour, j'ai un problème pour la question suivante :
Hypothèse : Dans un espace topologique (X,t), soit une suite décroissante de fermés emboîtés (Fn;n 
), avec F0 compact. Soit également un ouvert U dans X contenant (
Fn; n)
Conclusion : U contient un des fermés de la suite.
Intuitivement je vois bien la situation : après un certain n0 entier, U doit contenir tous les fermés d'indice supérieur à n0, mais je ne vois pas comment le montrer rigoureusement. Est-ce que quelqu'un pourrait me donner une piste? Merci pour votre aide.
Ce resultat me semble faux si tu prends R muni de la toplogie discrete, F_n={1/k, k>n}u{0}. Alors {0} est un ouvert contenant l'intersection des Fn. Mais ne contient aucun des F_n.
Je crois avoir trouvé un raisonnement qui se tient:
Supposons que X = F0 et posons F := X\U.
Puisque les Fn sont emboîtés décroissants, ils sont, en plus de F, des fermés de F0.
Par hypothèse, nous avons (Fn; n) 
F = 
.
Comme (F0, t) est compact, on utilise la caractérisation des compacts par les fermés :
( Fn; n) F =
J 
fini non-vide tq ( Fj; j J) F =
j J, Fj F\X = U.
Comme J est fini et non-vide, en posant n0 := (max {j}; j J), on a que
( Fj; j J) = Fn0 U. #
Ce résultat semble-t-il correct? et si oui, pourrais-je le généraliser pour X =! F0 en considérant un ensemble U' inclus dans U avec les mêmes hypothèses , et qui soit ouvert dans la topologie induite de F0 afin d'appliquer le même raisonnement ?
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