Suite de fermés emboités

Posté par Metaphysik (invité)

Bonjour, j'ai un problème pour la question suivante :

Hypothèse : Dans un espace topologique (X,t), soit une suite décroissante de fermés emboîtés (F_n;n ), avec F₀ compact. Soit également un ouvert U dans X contenant (F_n; n)

Conclusion : U contient un des fermés de la suite.

Intuitivement je vois bien la situation : après un certain n₀ entier, U doit contenir tous les fermés d'indice supérieur à n₀, mais je ne vois pas comment le montrer rigoureusement. Est-ce que quelqu'un pourrait me donner une piste? Merci pour votre aide.

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

Utilise la propriété qui caractérise les compacts en termes de fermés.

Posté par Rodrigo Rodrigo

Ce resultat me semble faux si tu prends R muni de la toplogie discrete, F_n={1/k, k>n}u{0}. Alors {0} est un ouvert contenant l'intersection des Fn. Mais ne contient aucun des F_n.

Posté par Rodrigo Rodrigo

Ah mea culpa, j'avai pas vu que F0 devait etre compact...

Posté par Metaphysik (invité)

Je crois avoir trouvé un raisonnement qui se tient:

Supposons que X = F₀ et posons F := X\U.
Puisque les F_n sont emboîtés décroissants, ils sont, en plus de F, des fermés de F₀.

Par hypothèse, nous avons (F_n; n) F = .
Comme (F₀, t) est compact, on utilise la caractérisation des compacts par les fermés :
     ( F_n; n) F =
J fini non-vide tq ( F_j; j J) F =
j J, F_j F\X = U.

Comme J est fini et non-vide, en posant n₀ := (max {j}; j J), on a que
( F_j; j J) = F_n0 U. #

Ce résultat semble-t-il correct? et si oui, pourrais-je le généraliser pour X =! F₀ en considérant un ensemble U' inclus dans U avec les mêmes hypothèses , et qui soit ouvert dans la topologie induite de F₀ afin d'appliquer le même raisonnement ?