Résolvante,Wronskien,equa diff

Posté par robby3 robby3

Bonjour tout le monde,je change de registre:

je me pose la question de savoir à quoi ressemble la matrice wronskien d'une equa diff en général...
en fait,je voulais savoir si cette matrice contenaient toutes les solutions de l'equation homogenes en ligne?

à quoi sert cette matrice??
Quel est sa relation avec la résolvante?

Si quelquu'n peut m'aider,je l'en remerci par avance

Posté par Rodrigo Rodrigo

Le wronskien est le determinant de la resolvante dans le cas d'une équation linéaire scalaire, (bien sur la resolvante est celle d'un système vectoriel associé a l'equation scalaire).
La réolsvante c'est alors la matrice d'un système fondamental de solutions d'une equation linéaire (homogène) d'ordre n, ainsi que de leur derivés d'ordre. Elle verifie R'=AR.
Le wronskien verifie W'(t)=Tr(A(t))W(t)

Ou A(t) est la matrice du système vectoriel. Dans ce cas cette equation se met sous une forme simple

si

Alors

Toutefois la formule donnée plus haut pour le determinant de la resolvante est vrai pour un système vectoriel quelconque (linéaire.)

la réolvante n'est rien d'autre que la matrice du flot pour un système linéaire.

Posté par robby3 robby3

Ok Rodrigo!

>?
le wronskien c'est le déterminant de la matrice wronskienne non?

Posté par Rodrigo Rodrigo

Pour une equation scalaire, on appelle wronskienne la matrice resolvante (terminologie un peu désuette, on parle de wronkien mais tres rarement de wronskienne, on parle plutot de résolvante, pour ma part j'appelerai plutot la resolvante le flot...pour etre en accord avec la théorie sur les equations non lineaires.)

Posté par robby3 robby3

je sais pas ce que c'est le flot...
moi j'ai que la résolvante R(t,t0) est solution du pb de Cauchy M'(t)=A(t).M(t) avec M(t) matrice fondamentale du systeme et A la matrice du systeme

alors la solution de X'=A(t)X est X(t)=R(t,to).X0
avec:X(t0)=X0
Si A est constante, R(t,to)=exp((t-t0)A)

voilà.

Posté par Rodrigo Rodrigo

Oui, c'est ça...le flot c'est tout simplement la génralisation de la résolvante pour une equation non linéaire. A un vecteur initial v0, il associe le vecteur v tel que x(t)=v, et x(t0)=v0, ou x est une solution de l'equa diff. Une des propriétées importante du flot est qu'il réalise un difféomrophisme (c'est une des versions du théorème de Cauchy Lipshitz)

Posté par robby3 robby3

ok d'accord Rodrigo:
merci bien de ces quelques point de rappels

Posté par Rodrigo Rodrigo

Oui?

Posté par H_aldnoer H_aldnoer

J'espère qu'il n'y aura pas ça au partiel !

Posté par Rodrigo Rodrigo

C'est pas tres compliqué pourtant...

Posté par robby3 robby3

c'est eux qui l'ont fait en TD pourtant!!