Forum des énigmes mathématiques :
C'est au pied du mur qu'on voit le maçon.

Marcel, maçon de son métier, mesure la verticalité de son mur avec un fil à plomb.
Marcel voulant étaler sa science dit à son copain Jules : "Regarde Jules, si on pouvait prolonger la ficelle de mon fil à plomb dans la direction qu'elle a actuellement, elle passerait par le centre de la Terre."
Jules lui rétorque: "Pas si sûr, il me semble bien que la rotation de la Terre autour de l'axe polaire influence la direction de ton fil à plomb".

Jules a-t-il raison ?
Et si oui de combien (arrondi au mm le plus proche) faudrait-il déplacer la masse du fil à plomb (en laissant le point haut de la ficelle immobile) pour que la droite passant par la ficelle du fil à plomb passe par le centre de la Terre ?

Question subsidiaire: si il faut un déplacement de la masse, alors dans quelle direction. (Nord, Sud, Est ou Ouest).

Données (à utiliser si nécessaires) :
- Marcel et Jules se trouvent en Bourgogne à une latitude de 45° Nord.
- La longueur du fil à plomb est de 3 mètres.
- La Terre est supposée parfaitement sphérique et homogène et son rayon est de 6370 km
- La pesanteur est de 9,81 N/kg
- La période de rotation de la terre sur elle-même est de 86164 secondes.

Bonne chance à tous.

Bonjour

Je risque par répondre même si je doute énormément car cela me parait trop facile pour mériter 2 étoiles .
Vu que la terre est supposé parfaitement sphérique Jules n'a pas raison.
En fait je ne sais pas si l'énoncée veux dire que le fil à plomb est fixe par rapport à la terre ou fixe dans l'espace mais dans les 2 cas si la terre ne fait que tourner sans changer de position (c.a.d sans tenir compte de sa rotation autour du soleil), le fil passera toujours par le centre de la terre donc il garde toujours la direction verticale.
Ma réponse donc est jules n'a pas raison .
Merci pour l'énigme .

Je trouve 5,18 mm soit 5 mm au mm le plus proche.
Il faut déplacer la masse vers le nord.

Bonjour,

l'angle de déviation du fil à plomb par rapport à la verticale est donné par :



Avec :

( vitesse de rotation de la terre en rad.s^-1)

(rayon de la terre en m)

(pesanteur en m.s^-2)

(latitude en °)

L'application numérique donne :

Donc, pour une longueur de corde de 3 m, il faut déplacer la corde de : soit environ 5mm.

Et pour la question subsidiaire : vers le nord.

Un petit article sur la masse pesante/masse inerte qui parle de ce phénomène :

L'accélération centrifuge liée à la rotation de la terre est égale à 4r*pi^2/T^2, où r=R/rac(2) est la distance à l'axe de rotation de la terre soit un rapport à l'accélération de la pesanteur de 4r*pi^2/gT^2=4*6,37*9,87/(1,414*9,81*(86,164)^2)=0,0024, ou encore un déplacement de la masse de 0,0024*3000= 7mm
La rotation de la terre allant vers l'est, la force centrifuge déplace la masse vers l'ouest: il faut donc corriger vers l'est

Bonjour,

On doit tenir compte de la force d'entrainement liée à la rotation de la terre. (on suppose que le référentiel terrestre, lui est galiléen, ce qui est un peu faux...)

On écrit l'équilibre des forces



où est dans la direction du fil du fil à plomb,
m, la masse du fil à plomb,
, la rotation de la terre
C, le centre de la terre
O, le point où à lieu l'expérience.

En développant, il apparait que le fil à plomb est dévié d'un angle 0,001729412 radians par rapport à la verticale, vers le sud.

Donc Jules a raison

Compte tenu de la longueur de fil de 3m, il faudra dévier le fil à plomb de 5 mm vers le nord pour que le fil indique la direction du centre de la terre.

Bonjour,

Oui il y a bien déviation de l'axe du fil à plomb.

Après calcul, l'écart en radians est égal à 1,7 x 10^-3.

Il faut donc déplacer la masse (vers l'ouest me semble-t-il car la déviation a lieu vers l'Est. ) de 3 x 1,7 x 10^-3 mètres, soit en arrondissant, 5,1 mm!

Oups , 5 millimètres en arrondissant, voulais-je dire.

bonjour,
je pense que Jules a tort, et ceci est une excuse pour ne pas faire des calculs que je ne comprend pas

Bonjour

Jules a raison !

Le plomb, de masse m, est soumis à deux forces :
- son poids P = mg, dirigé vers le centre de la Terre,
- la force centrifuge F = m ² R cos L, où L est la latitude et R le rayon terrestre.

La composante de F perpendiculaire à P (qui fait dévier le fil), est égale à F sin L.

L'angle dont le fil dévie de la verticale vaut donc approximativement (F sin L)/P = (² R cos L sin L)/g

Comme = 2/86164, on obtient finalement

(4² R cos L sin L)/(86164²g) 1,73 10^-3

Le fil mesurant 3 m, la déviation du plomb est de 31,73 10^-3 m soit environ 5 mm.

Bien sûr, la déviation est vers le sud, donc pour faire pointer le fil vers le centre de la Terre, il faut déplacer le plomb de 5 mm vers le nord.



Cordialement
Frenicle

Bonjour,

Jules a parfaitement raison En effet la force centrifuge influe sur le fil de plomb.

D'après Roland Eötvös, l'angle de déviation par rapport à la radiale terrestre est égal à:

Ω² R sinλ cosλ /g = 1,7  x 10-3 x sin(2 λ ),
λ étant la latitude, Ω la vitesse de rotation de la Terre et R le rayon.

Donc l'angle est égal à 0.0017 degrés.

Ainsi, il devra décaler le plomb de 3sin= 8,9.10^-5 mètres.

Question subsidiaire : Puisque le mouvement de rotation de la Terre autour de son axe est d'ouest en est, il devra le décaler vers l'ouest.

Merci pour l'énigme.

Aie je n'ai pas arrondi au millimètre...
La réponse exacte est 8,901 .10^-5 mètres...

Bonjour,

Jules a tout-à-fait tort.

gloubi

Merci pour cette énigme qui me replonge dans de la physique oubliée depuis bien longtemps.
Si l'on suppose que les seules forces agissant sur le plomb du fil sont l'attraction terrestre, la force centrifuge due à la rotation de la terre et la tension du fil, ces trois forces doivent s'équilibrer. Comme les deux premières, la tension du fil doit être dans le plan méridien de notre village bourguignon.
Tout se passe donc dans ce plan. Rapportons le à un repère orthonormé Oxy,
avec O position du plomb, Oy vertical ascendant, Ox dirigé vers le sud.
Raisonnons sur les accélérations plutôt que sur les forces.
Pour l'attraction terrestre, les composantes sont 0 et -g.
Quand la terre tourne avec une période T, le village bourguignon , situé sur le 45° parallèle, décrit un cercle de rayon R/racine(2) (R=rayon de la terre) avec une vitesse angulaire égale à 2Pi/T. Le module de la force centrifuge est donc ((2Pi/T)^2)R/racine(2). L'angle polaire de la force centrifuge étant de Pi/4, les deux composantes sont égales à ((2Pi/T)^2)R/2.
Les composantes de la tension du fil sont donc proportionnelles à  -(2Pi/T)^2)R/2 et g (pour la 2°, on considère que la force centrifuge est négligeable devant g).
Le point d'ancrage du fil est donc dans la direction du nord et le fil fait avec le sol un angle alpha voisin de Pi/2 , dont on peut assimiler le cosinus à (2Pi/T)^2)R/(2g).
Si l est la longueur du fil, la projection horizontale du point d'ancrage est donc à une distance du plomb égale (en mètres) à l(2Pi/T)^2)R/(2g), c'est de cette distance qu'il faut déplacer le plomb pour l'amener à la verticale du point d'ancrage. Numériquement, je trouve 5,17 mm. Résumons:

JULES A RAISON! Il faut déplacer le plomb de 5 mm vers le nord, sans bouger le point haut du fil (et sans racler le sol) pour que le fil soit dans la direction du centre de la terre.

REMARQUE: 5 mm, c'est peu comparativement à la distance qu'il faudrait faire parcourir au 45° parallèle pour le forcer à passer par la Bourgogne...  

Oui rogerd,
On est un poil a coté de la Bourgogne puisque le sud de la Bourgogne est à 46° de latitude Nord, mais cela n'est pas très important.

111 km, ce n'est pas tellement, pas assez d'ailleurs pour changer la valeur arrondie de 5 mm de la réponse demandée.

Bonjour!

Je me lance dans ces calculs tout en restant sceptique quant à la justesse du raisonnement. On néglige d'autres forces agissant sur la masse (par exemple les courrants d'air) et on simplifie des données (par exemple la Terre supposée parfaitement sphérique et homogène et la ficelle de poids nul) pour calculer un angle très petit, peut-être pas moins négligeable que d'autres données ignorées.

Pour cette première partie je néglige l'angle formé au centre de la terre entre le plomb et le haut de la ficelle. Je pose le plomb "au sol" et je néglige la longueur de la ficelle par rapport au rayon de la Terre.

Deux forces s'éxercent sur la masse de plomb: , la réaction de la ficelle et , son poids. La résultante doit être , la force centripète qui fait la masse tourner selon la même vitesse angulaire que la surface de la Terre. Ces trois forces sont coplanaires.

Je nomme les données que j'utiliserai pour l'instant:








En remplaçant par les valeurs numériques j'obtiens que



Reste à chercher maintenant la distance sur la quelle il faut déplacer le plomb. Il s'agit de le déplacer d'un l'angle par rapport à l'autre bout de la ficelle de 3 mètres. étant petit on peut chercher la longueur de l'arc de cercle () ou le 3^ème côté d'un triangle isocèle ( ). Je trouve donc 0.0051704 mètres, soit 5mm, ce qui est nettement plus élevé que ce à quoi je m'attendais.

Étant sur l'hémisphère nord, ce déplacement manuel de la masse se fera vers le sud. Si on se partait en voyage à l'hémisphère sud toute correction devrait se faire vers le nord.

Je me suis encore amusée à étudier en fonction de . Si mes calculs sont bons, est maximal à une latitude de 45.049^o, c'est donc dans la Bourgogne que ce décalage est maximal.

Isis

Enigme clôturée assez tôt par la faute de quelqu'un qui ne veut pas jouer le jeu.

La question a été posée sur un autre site, ici:

La réponse attendue:
Déviation de 5 mm et la masse devait être déplacée vers le NORD.
On peut par exemple voir les explications dans la réponse de .

Heureusement pour quelques-uns que la réponse à la question subsidiaire n'a pas été prise en compte pour l'attribution du smiley.

Quelle coincidence

je jure que je n'avais pas vu que t'as cloturé aussi ...

Comme je l'avais déjà dis je doutais enormément de ma réponse , et par conséquent un bien mérité .

J'aurais dû peut être ne pas répondre à cette énigme puisqu'elle dépasse mes connaissances en physique.

En fin merci pour l'énigme, et bravo a J-P qui reste vigilent pour ceux qui essaient de tricher

Bonjour à tous et, tout d'abord toutes mes excuses à l'auteur pour mes digressions sur le 45° parallèle!

J'essaie de reprendre mon message en y incorporant du latex et une image. Je vous prie d'excuser tous ces tâtonnements...

Si l'on suppose que les seules forces agissant sur le plomb du fil sont l'attraction terrestre, la force centrifuge due à la rotation de la terre et la tension du fil, ces trois forces doivent s'équilibrer. Comme les deux premières, la tension du fil doit être dans le plan méridien de notre village bourguignon.
Tout se passe donc dans ce plan. Rapportons le à un repère orthonormé Oxy,
avec O position du plomb, Oy vertical ascendant, Ox dirigé vers le sud.
Raisonnons sur les accélérations plutôt que sur les forces.
Pour l'attraction terrestre, les composantes sont 0 et .
Quand la terre tourne avec une période , le village bourguignon , situé sur le 45° parallèle, décrit un cercle de rayon (=rayon de la terre) avec une vitesse angulaire égale à .

Le module de la force centrifuge est donc .

L'angle polaire de la force centrifuge étant de , les deux composantes sont égales à .
Les composantes de la tension du fil sont donc
et (pour la 2°, on considère que la force centrifuge est négligeable devant g).
Le point d'ancrage du fil est donc dans la direction du nord et le fil fait avec le sol un angle voisin de   , dont on peut assimiler le cosinus à .
Si est la longueur du fil, la projection horizontale du point d'ancrage est donc à une distance du plomb égale (en mètres) à et c'est de cette distance qu'il faut déplacer le plomb pour l'amener à la verticale du point d'ancrage. Numériquement, je trouve 5,17 mm. Résumons:

JULES A RAISON! Il faut déplacer le plomb de 5 mm vers le nord, sans bouger le point haut du fil (et sans racler le sol) pour que le fil soit dans la direction du centre de la terre.