ça  est pas tres clair, ma nouvelle application est u "étoile", c est elle que je n arrive pas à exprimer en fonction de y

Rebonjour.

Je te propose deux méthodes.

1°) Si tu as étudié la dualité, tu peux utiliser l'application ^tu

2°) Sinon, on considère une base orthonormale B = (e₁ , ... , e_n) de E

L'hypothèse pour tout x se traduit par :

pour tout i, (u(e_i) | y) = (e_i | z) = z_i

Donc les coordonnées de z sont déterminées sur B par :

pour tout i, z_i = (u(e_i) | y)

décidément, c est toujours les memes !!!
alors mon exo porte sur l isomorphisme E et son dual,
je ne vois pas ce que l application "transposee de u" vient faire ici, y aurait il un lien qui relie tranposéé de u et dual de u?

J'ai une troisième méthode matricielle.

Soit B une base quelconque de E. Je pose :
A = matrice du produit scalaire (symétrique strictement positive, donc inversible)
U = Mat(u,B)
X = Mat(x,B), Y = Mat(y,B), Z = Mat(z,B)
Alors, (u(x)|y) = ^t(U.X).A.Y = ^tX.^tU.A.Y

L'énoncé donne :

pour tout X, ^tX.^tU.A.Y = ^tX.A.Z

pour tout X, ^tX.(^tU.A.Y - A.Z) = 0

Donc : ^tU.A.Y - A.Z = 0

A.Z = ^tU.A.Y

Mais A est inversible. D'où la définition de Z :

Z = (A^-1tU.A)Y

Nos posts se sont croisés.

On sait que tout espace euclidien est canoniquement isomorphe à son dual.

Soit u € L(E). On appelle transposée de u l'application ^tu € L(E*) définie par :

Pour tout x de E pour toute forme linéaire y* de E*, < u(x) , y* > = < x , ^tu(y*) >

^tu est définie par ^tu(y*) = y* o u

Pourquoi ne aps tout simplement utiliserr la méthode pédestre qui consiste à utliser la définition de u*. Je note <|> le produit scalaire, pour x,y,z quelconques.

<x|u*(y+z)>=<u(x)|y+z>=<u(x)|y>+<u(x)|z>=<x|u*(y)>+<x|u*(z)>=<x|u*(y)+u*(z)>

Comme le produit scalaire est non dégénéré, ceci impose u*(y)+u*(z)=u*(y+z).

Je te laisse traiter la R-linéarité, exactement de la même façon...

Heu raymond...l'isomorphisme entre E et E* n'est pas du tout canonqiue...c'est même l'un des moins canoniques que je connaisse

Ah autant pour moi j'avais pas vu l'euclidien qui fait toute la différence

Bonjour Rodrigo.

Le problème à traiter ici se passe dans un espace euclidien donc, canoniquement isomorphe à son dual.

Les cas d'isomorphisme canonique entre E et E* sont en effet assez rares. Ils se résument à

1°) dim(E) = 1

2°) dim(E) = 2 et K = Z/2Z

3°) E est euclidien.

En relisant ton post, je vois que tu utilises a priori u*. Or, moi j'avais compris que gunsouci voulait justement

prouver l'existence de ce fameux adjoint.

Dans mon cours, j'introduisais u* par le biais de la dualité et de la transposition, mais j'aimais également en donner une représentation matricielle.

Vu comment est formulé l'exo, montrer l'existence de u*, puis prouver sa linéarité... je pense que ma méthode est valable...Nos méthodes sont equivalentees mais la mienne se generalise en dimension finie, alors que la forme maricielle de l'adjoint pas vraiment...

Le problème en dimension quelconque c'est que l'on sort des espaces euclidiens et qu'alors l'existence de u* n'est plus certaine. Quoique dans les Hilberts ... je vais revoir ma théorie spectrale.

Dans les hilberts ca marche ^pour els opérateurs bornés...mais prouver leur existence requiert justement le thoérème de Riesz, c'est à dire l'isomorphisme entre E et son dual topologique.

Effectivement, mais je viens de relire ce résultat que je n'avais plus que vaguement en mémoire. C'est triste d'oublier aussi vite lorsqu'on n'utilise plus une théorie !

je prefere la methode de rodrigo qui me semble plus "naturelle" vous etes d accord, du coup pour la linearité par rapport à un scalaire que

<x|u*(m*y)>=<u(x)|m*y>= m * <u(x)|y> = m * <x|u*(y)>

Bonjour.

Problème. Etant donné un espace euclidien E dont je note ( | ) le produit scalaire, et un élément u de L(E), on doit prouver que :
Pour y donné dans E, il existe un unique z tel que : pour tout x dans E (u(x)|y) = (x|z).

Il s'agit d'une équation d'inconnue z de paramètre y.
On peut traiter matriciellement cette équation.

Je reprends mes notations :

Soit B une base quelconque de E. Je pose :
A = matrice du produit scalaire (symétrique strictement positive, donc inversible)
U = Mat(u,B)
X = Mat(x,B), Y = Mat(y,B), Z = Mat(z,B). (Ce sont trois matrices colonnes).
Alors, (u(x)|y) = ^t(U.X).A.Y = ^tX.^tU.A.Y

L'équation proposée s'écrit alors :

^tX.^tU.A.Y = ^tX.A.Z

^tX.(^tU.A.Y - A.Z) = O

Cette équation devant être vérifiée pour tout X :

^tU.A.Y - A.Z = O

^tU.A.Y = A.Z

Comme A est inversible, on multiplie les deux membres par A^-1. Cela donne :

Z = A^-1.^tU.A.Y = (A^-1.^tU.A).Y

Cela signifie que :

1°) Z existe et est unique
2°) Y ---> Z est linéaire et que la matrice associée est : V = A^-1.^tU.A

Ce nouvel endomorphisme V s'appelle d'ailleurs l'adjoint de U.

Remarque fondamentale : Si la base B est choisie orthonormale, alors la matrice du produit scalaire est I_n.

Dans ce cas, l'expression de V est encore plus simple : V = ^tU.

merci de ta precision!!!
ne serait ce pas la saint raymond aujourd hui? BONNE FETE !

Alors ça, c'est super sympa.

Merci beaucoup gunsouci.

A plus RR.