Arithmetique

Posté par jakob210 jakob210

salut, j'aimerai bien savoir qu'elle est le nombre du couple (a,b) dans Z_n qui verifie:a^-1mod n = a et (a+1)b = 0 mod n, avec n=pq tel que p et q sont des nombres premiers distincts.

Posté par jakob210 jakob210

et on a pgdc(a,n)=1.Et merci d'avance pour votre aide.Bonne fete.

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

Si a=a^-1 (mod n), ou bien a=1 mod n, ou bien a est d'ordre 2 dans le groupe multiplicatif de Z_n. Le théorème chinois assure l'isomorphisme Z_nZ_pZ_q, d'où
(Z_n)^*(Z_p)^*(Z_q)^* et on sait que pour p premier, (Z_p)^* est cyclique d'ordre p-1.

La même technique marche pour la deuxième question.

Posté par jakob210 jakob210

Salut Camélia. En effet j'ai posé une question: le faite de pouvoir calculer le nombre de couple (a,b) qui vérifie les conditions suivantes: pgdc(a,n)=1 et a-1 mod n = a et (a+1)b = 0 mod n avec n=pq tel que p et q sont des nombres premiers distincts.Bn je vois pas t'a réponse en quoi va m'etre utile? et merci comme meme.

Posté par Camélia Camélia

Un nombre non nul a est premier avec n si et seulement si il est premier avec p et avec q; il y a donc (p-1)(q-1) classes inversibles dans Z_n. Réfléchis à la suite...

Posté par jakob210 jakob210

oui la je suis d'accord, c'est l'indicateur d'euler alors on vient de trouver le nombre de valeur que prend a sans verifier les autres conditions.

Posté par jakob210 jakob210

je vois qu'il ya pas de réponse.merci pour votre aide.

Posté par jakob210 jakob210

salut,aidez moi.j'aimerai bien savoir comment faire pour trouver combien de nombre? et bonne fete à tout le monde.

Posté par Camélia Camélia

En travaillant dans Z_{p[/sup]Z[sub]q}: Il existe exactement 4 valeurs possibles pour a:

a=(1,1) (il s'agit de classes bien sûr) Alors (2,2)b=(0,0) entraine b=(0,0) car 2 est inversible.

a=(-1,1) alors (0,2)(b,b')=(0,0) entraine b'=0 et b est quelconque, donc p possibilités.

a=(1,-1) de même q possibilités

a=(-1,-1) pq possibilités.

Il y a donc 1+p+q+pq couples de classes modulo n qui répondent aux conditions.