Topologie sur des matrices

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Bonjour à tous,

Je suis en train de faire un vrai blocage sur l'exo suivant:



Bon, déjà pour la première question: "montrez que l'ensemble des matrices inversibles est un ouvert". Euh, moi je veux bien, mais ils définissent même pas la topologie sur laquelle on se place. Je suis censé la trouver aussi celle-là ou il y a une topologie "naturelle" sur ?

En fait, c'est la même incompréhension pour le reste de l'exo.

Je suis en plein délire?

Merci d'avance.

Ayoub.

Posté par romu romu

salut, oui il doit y a avoir une topologie naturelle, avec les normes de matrices.

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Salut romu,

Et c'est qui cette topologie?

Posté par romu romu

ben est un espace vectoriel normé de dimension finie.

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Des fois je pose des questions, non mais franchement, j'en ai honte!

Posté par jeanseb jeanseb

Bonjour



Je ne crois pas qu'il faille avoir honte, puisque la norme choisie sur Mn(K) n'est pas précisée dans l'énoncé. Bon, vu qu'on est en dimension finie, les normes sont équivalentes, donc déterminent la même topologie, mais ce n'est pas trivial comme approche d'un tel énoncé.

Pour la 1, la continuité de l'application déterminant fera l'affaire.

Posté par cohlar cohlar

Pour la 3, sers-toi de l'expression que tu dois connaître de A^-1 en fonction de A. ^^

Posté par jeanseb jeanseb

Pour les matrices symétriques, c'est assez simple: tout espace vectoriel de dimension finie est fermé. Donc l'ensemble des matrices symétriques( ou auto-adjointes) est fermé.

Posté par jeanseb jeanseb

Pour la 2, il me semble que l'application polynomiale P est continue (chaque puissance d'une matrice a pour coefficients des polynomes en les coefficients de A)et donc l'ensemble considéré est l'image réciproque du singleton {0} qui est un fermé par une fonction continue, donc cet ensemble est fermé.

Posté par hxtbvqc (invité)

essaye de démontrer la continuité du detereminant. Et par consquent {M,det(M)} est un ouvert.
Puis tu peut exprimmer l'inverse de la matrice à l'aide de determinant on le voit lors du pivot de gauss.