Espace topologique de groupe fondamental non dénombrable

Posté par Fractal Fractal

Bonjour

Je me posais la question suivante : Existe-t-il un espace topologique dont le groupe fondamental ne serait pas dénombrable?
D'après wiki, il semblerait bien que oui puisqu'il y est écrit "Pour n'importe quel groupe G, il existe un espace topologique de groupe fondamental G."

Auriez-vous un exemple d'un tel espace topologique?

Merci d'avance

Fractal

Posté par Ksilver Ksilver

Ba si tu cherche des objets plongé dans R³, c'est difficle, mais si tu prend des parti d'espaces vectorielle de dimension infinit, c'est moins étrange déja...

par exemple tu peut regarder une somme conexe par rapport à un point d'une infinité non dénombrable de cercle.


sinon il y a un exemple interessant dans R³ : tu considere l'ensemble des cercle de diametre (0,0) (0,1/n)

son groupe fondamental est non dénombrable.
en effet, ce n'est pas le groupe libre à une infinité dénombrable de générateur car etant un meme lacet peut appartenir à une infinité de lacet à condition que ceci soit de diametre qui tendent vers l'infinit.

(L'astuce avec cette ensemble c'est qu'il n'est pas semi-localement-simplement-connexe, donc n'as pas de revetement universelle, ca permet de faire des choses bizzare)

Posté par Fractal Fractal

Merci beaucoup :)

Fractal

Posté par Ksilver Ksilver

je reprend (mais en francais cette fois)

sinon il y a un exemple interessant dans R² : tu considere l'ensemble des cercle de diametre (0,0) (0,1/n)

son groupe fondamental est non dénombrable.
en effet, ce n'est pas le groupe libre à une infinité dénombrable de générateur car un meme lacet peut appartenir à une infinité de cercle à condition que ceci soit de diametre qui tendent vers 0.


(NB : et le groupe est non dénombrable car il contiens un ensemble en bijection avec l'ensemble des suite dans {0,1} : on peut construire un lacet en décidant ou non de parcourir chacun des cercles)