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actions de groupes
bjr j'ai un exercice qu'on a cooriger et j'ai deux questions ou j'ai vraiment rien compris alors si quelqu'un pouvais m'expliquer sa serait super
Soit G un groupe d'odre n et p un diviseur premier de n.On montre que G a un element d'odre p (th de Cauchy).
On considere sur X={(x1,x2,....,xp) telle qu x1*x2*....*xp=1} l'action par permutation circulaire:
Z/p*X->X : k*(x1,x2,....,xp)=(xk+1,xk+2,.....,xk+p)
(les indices st modulo p)
1. Calculer card(X)
2. Quels sont les elements de X dont l'orbite est reduite a un point
3.Montrer que si G n'a pas d'element d'odre p alors card(X)-1 est un multiple de p.En deduire une contradiction.
La question 1 j'ai bien compris mais les deux autres pas du tt.
Voila merci d'avance.
Bonjour
L'orbite de (x1,...,xp) est réduite à un point si et seulement si x1=...=xp) et (x1)p=1. Pour le voir il suffit de remarquer que (x2,...,xp,x1)=1*(x1,...,xp)=(x1,...,xp).
Comme le cardinal d'une orbite divise le cardinal du groupe qui opère, c'est à dire p, une orbite à ou bien p ou bien 1 éléments. Or (1,...,1) est une orbite à un élément. S'il n'y avait aucun élément d'ordre p on aurait card(X)=1+kp (où k est le nombre d'orbites ayant p éléments. Ceci est impossible car card(X)=np-1, donc il est divisible par p.
C'est deja bcp plus clair...
Je pense avoir a peut pres tout compris mais je vais y regarder au calme
En tt cas merci bcp
Encore une petite question
j'ai compris pkoi (x2,....xp,x1)=(x1,...,xp)
Mais je vois pas pkoi sa implique que l'orbite est reduite a un point si et seulment si x1=....=xp et (x1)^p=1?????
Merci
La première égalité dit bien que x2=x1, x3=x2... donc ils sont bien tous égaux. Par ailleurs les éléments de X vérifient x1. ... ;xp=1, donc s'ils sont tous égaux à x1 on a bvien (x1)p=1.
Si, Cauchy elle est superbe... et due à ton éponyme!
De plus, elle est faisable assez tôt (enfin, je veux dire bien avant Sylow) et suffit pour trouver tous les groupes de petite taille!
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