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maths exponentiel et nombres complexes

Posté par
thoru
31-12-07 à 01:25

Normalement j'arrive assez bien les maths mais la je n'arrive pas a faire ce dm j'ai pasé pourtant du temps pouvez vous me guider?

Soit f la fonction sur R par f(x) = e ^(-x) sinx.
On note C sa courbe representative dans le plan muni d'un repere orthogonal.

1)a) justifier la derivabilité de f sur R
b) montrer que pour tout réel x, f' (x) = \/¯2 e ^(-x) cos (x + pi/4) (formule addition ?)
c) resoudre dans l'intervalle {0 , 2pi) l'inequation cos ( x + pi/4) >0
en deduire le signe de f' (x) pour x appartient a (0  2pi)
donner le tableau des variation de f sur l'intervalle (0, 2pi)    preciser f'(0) et f' (2pi)



ensuite je n'arive pas cet exo :
on considere un nombre complexe z et on note M et M' et M'' les points daffixes respectives z , z + i et iz dans le plan muni d'un repere orthonormé (o , u , v)

1) determiner z pour que
a) M' et O soient confondus
b) M' et M'' soient confondus

2)on supose que z est different de O , -i et (1-i)/2
a)montrer que les points O  M' et M'' sont aligné ssi (z+i)/iz est un nombre reel
b)montrer que (z+i)/iz reel equivaut a zzbarre = -Im (z)
c)en deduire une equation de lensemble des points M tels que O M ' et M '' soient 2 a 2 distincts et alignés.

je voudrais avoir des indications car c'est our un dm a rendre lundi et sa me tracasse de pas savoir le faire, surtout que normalement j'y arrive mais là je sais pas ça me semble très dur nan?

Posté par
patrice rabiller
re : maths exponentiel et nombres complexes 31-12-07 à 06:33

Bonjour ???

Pour le premier exercice :
1a) Il suffit de dire que f estn le produit de fonctions dérivables sur R
1b) Pour la dérivée, tu dois arriver à : f'(x)=e-x(cos x - sin x). Il suffit alors de développer l'expression de f'(x) qu'on te donne (avec les formules d'addition en effet) pour constater que c'est bien la même chose.
1c) Tu devrais trouver que la dérivée est positive sur les intervalles [0, pi/4] et [5pi/4, 2pi] avec f'(0)=1 et f'(2pi)=e-2pi.

Pour le second exercice la question 1 est vraiment facile :
1a) On trouve z=-i (mais c'est à toi de le démontrer )
1b) On trouve z=1-i (même chose)
2a) Il faut utiliser un résultat de cours : 3 points A,B,C d'affixes a,b et c sont alignés si et seulement si l'argument de (b-a)/(c-a) est égal à 0+kpi...

À toi de jouer

Posté par
isle
re : maths exponentiel et nombres complexes 31-12-07 à 07:05

Bonjour,

thoru- > il y'a une petite erreur de distraction dans la réponse proposée par patrice rabiller.

1b).

à toi de le corriger et ça ne coûte rien d'écrire bonjour au debut et merci à la fin.

Posté par
thoru
re : maths exponentiel et nombres complexes 31-12-07 à 10:26

désolé de ne pas vous avoir saluer !
Bonjour , je vais reprendre l'exos, pour le premier j'ai utilisé la formule de Simpson (car 'ai essayé de me débrouillé pour trouvé un truc correct) mais le probleme c'est que je n'ai pas vu cette formule en cours , il y a ne autre façon de resoudre la question 1)b) ? merci
(moi j'ai utilisé les formule d'addition et j'ai fini avec cette fomule de Simpson)

Posté par
patrice rabiller
re : maths exponentiel et nombres complexes 31-12-07 à 12:16

De quelle formule de Simpson parles-tu ?

Pour ma part, j'ai procédé comme ceci :

f'(x)=e-x(cos x - sin x)
donc f'(x)=e^{-x}\frac{2}{\sqrt 2}\(\frac{\sqrt 2}{2}\cos x-\frac{\sqrt 2}{2}\sin x\)
donc f'(x)=\sqrt 2 e^{-x}\(\cos\frac{\pi}{4}\cos x-\sin\frac{\pi}{4}\sin x\)
donc f'(x)=\sqrt 2 e^{-x}\cos\(x+\frac{\pi}{4}\) ...

Posté par
thoru
re : maths exponentiel et nombres complexes 31-12-07 à 12:22

je ne comprend la deuxieme ligne quand vous comencer avec "donc" vous muliplier là ?

Posté par
thoru
re : maths exponentiel et nombres complexes 31-12-07 à 12:30

c'est con j'ai compris merci !

Posté par
thoru
re : maths exponentiel et nombres complexes 31-12-07 à 12:33

d'accord donc ensuite f'(x) est positif car la racine et la fonction exponentiel est positive nan?
donc ensuite pour le tableau bin c'est une fonction croissante (pourquoi il veul que l'on precise f'(0) et f'(2pi) ?

Posté par
thoru
re : maths exponentiel et nombres complexes 31-12-07 à 12:36

(oups désolé jvoulai mettre " c'est bon désolé " et j'ai mi ça .... lool

Posté par
thoru
re : maths exponentiel et nombres complexes 02-01-08 à 16:20

bonjour, je n'arrive pas le 1)b) de l'exo 2
je divise par z mais ensuite je bloque

Posté par
patrice rabiller
re : maths exponentiel et nombres complexes 02-01-08 à 17:25

Bonjour,

Je n'ai pas trouvé de réponse simple à cette question. Cependant, voici une solution :

Posons z=a+ib
On sait qu'alors \bar z=a-ib et que z\bar z=a^2+b^2=|z|^2

On peut donc écrire les équivalences :\frac{z+i}{iz}\in \mathbb R\Longleftrightarrow -i+\frac 1 z\in\mathbb R

\frac{z+i}{iz}\in \mathbb R\Longleftrightarrow -i+\frac{1}{a+ib}\in\mathbb R

\frac{z+i}{iz}\in \mathbb R\Longleftrightarrow -i+\frac{a-ib}{(a+ib)(a-ib)}\in\mathbb R

\frac{z+i}{iz}\in \mathbb R\Longleftrightarrow -i+\frac{a-ib}{a^2+b^2}\in\mathbb R

\frac{z+i}{iz}\in \mathbb R\Longleftrightarrow \frac{-i(a^2+b^2)+a-ib}{a^2+b^2}\in\mathbb R

\frac{z+i}{iz}\in \mathbb R\Longleftrightarrow a^2+b^2+b=0

\frac{z+i}{iz}\in \mathbb R\Longleftrightarrow a^2+b^2=-b

\frac{z+i}{iz}\in \mathbb R\Longleftrightarrow z\bar z=-Im(z)

Encore une fois, il y a sûrement plus simple mais ... les vapeurs du réveillon ne sont peut être pas encore totalement dissipées

Posté par
thoru
re : maths exponentiel et nombres complexes 04-01-08 à 10:46

bonjour, bonne année !!!
je ne comprend pas lorsque vous mettez la premiere equivalence, pouvez vous m'expliquer?

Posté par
patrice rabiller
re : maths exponentiel et nombres complexes 04-01-08 à 10:56

Par ce que \frac{z+i}{iz}=\frac{z}{iz}+\frac{i}{iz}=\frac{1}{i}+\frac 1 z=\frac{i}{i^2}+\frac 1 z=-i+\frac 1 z

Posté par
thoru
re : maths exponentiel et nombres complexes 04-01-08 à 11:14

pour lexo 1) comment peut t'on trouver que la derivé est positive sur tels ou tels intervalle, car j'ai trouver les intervalle mais c'est juste grace au cercle trigonométrique mais sinon je n'arrive pas a faire l'inequation.  une petite aide ???merci

Posté par
thoru
re : maths exponentiel et nombres complexes 04-01-08 à 11:17

merci patrice rabiller pour ces explications !!!pouvez vous me donner une indication pou lxo 1)c) !j'ai juste trouver que le signe depend du signe de (cosx - sinx) mais pour l'inequation ...  

Posté par
thoru
re : maths exponentiel et nombres complexes 04-01-08 à 11:23

enfin j'ai fais mon tableau de valeur en mettant deja les valeur pour lequel x s'annuke mais je n'ai pas expliqué pourquoi je trouve pi/4 ou 5pi/4 et 2pi et 0

Posté par
patrice rabiller
re : maths exponentiel et nombres complexes 04-01-08 à 11:36

Pour connaître le signe de la dérivée, il faut partir de l'expression f'(x)=\sqrt 2 e^{-x}\cos\(x+\frac{\pi}{4}\) :

On sait que cos x > 0 sur l'intervalle [-pi/2, pi/2]

Donc cos(x+pi/4) >0 lorsque (x+pi/4) appartient à [-pi/2,pi/2]

Donc lorsque x appartient à [-pi/2-pi/4, pi/2-pi/4]

Donc lorsque x appartient à [-3pi/4, pi/4]

Comme il faut faire l'étude du signe de f'(x) sur l'intervalle [0, 2pi], on en déduit que f'(x)>0 sur les intervalles [0,pi/4] et [5pi/4, 2pi]

Posté par
thoru
re : maths exponentiel et nombres complexes 04-01-08 à 12:13

merci beaucoup !!!
et je cherche pour lexo 2 1)b)  c'est peut être simple mais j'ai du mal ...
je trouve z = 1 - i , es ce que je peut faire cec : ( 1+i ) + ( 1 / z ) = 1 donc z = 1 - i ??

Posté par
patrice rabiller
re : maths exponentiel et nombres complexes 04-01-08 à 12:21

M' et M" sont confondus si et seulement si leurs affixes (z+i) et (iz) sont égales :

On a donc z+i=iz

donc z-iz=-i

donc z(1-i)=-i

donc z = (-i)/(1-i)

donc z = \frac{-i(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{-i-i^2}{2}=\frac{1-i}{2}

Posté par
thoru
re : maths exponentiel et nombres complexes 04-01-08 à 12:54

ok merci, dans toutes les choses que j'avais trouver cette solution y était ! )
mais comment trouver vous 1/i + 1/z = i/i² + 1/z = -i + 1/z
comment faites vous pour trouver cette seconde egalité... je suis désolé d'être si desesperante !!!! ...
mais pour trouver -i je ne voi pas comment vous avez fai

Posté par
thoru
re : maths exponentiel et nombres complexes 04-01-08 à 12:56

a c'est bon !! merci

Posté par
thoru
re : maths exponentiel et nombres complexes 04-01-08 à 13:01

es ce que je peut vous demander une autre chose sur un exos different ??
car je n'ai pas mis tous les exercices car il y en a trop mais j'ai un probleme sur un autre exos

dans le repere preceent on note ( L ) et ( L' ) les courbes d'équations respectives y = e ^-x et y = -e ^-x
a) determiner les abscisses sur ( 0 , 2pi ) des points d'intersection de C avec chacune des courbe ( L) et ( L' )
b ) verifier qu'en chacun de ces point communs , les courbes C et L d'une part  C et L' d'atre part ont la meme tangente

je peux vous dire ce que j'ai trouver :
quelque chose de bizarre ... enfin je ne sais pas trop, j'ai trouver pour le a) 0 pour les 2 courbe L et L' avec C
mais je vais continuer a chercher ...

Posté par
thoru
re : maths exponentiel et nombres complexes 04-01-08 à 13:13

et pour lequation de l'ensemble des pointM  tel que les 3 points soient deux a deux aligné ....
je suis désolé de vous demander tous ça !

Posté par
patrice rabiller
re : maths exponentiel et nombres complexes 04-01-08 à 13:20

Je te propose le dessin ci-dessous.
La courbe C est en bleu et les courbes L et L' sont en pointillés. J'espère que ça t'aidera ...

Les points communes ont pour abscisses pi/2 et 3pi/2 : c'est facile à démontrer car sin(pi/2)=1 et sin(-pi/2)=-1

maths exponentiel et nombres complexes

Posté par
thoru
re : maths exponentiel et nombres complexes 04-01-08 à 13:39

le probleme c'est qu'en ces 2 point il n'y a pas de tangente commune !

Posté par
thoru
re : maths exponentiel et nombres complexes 04-01-08 à 13:40

le probleme c'est qu'en ces 2 point il n'y a pas de tangente commune !

Posté par
thoru
re : maths exponentiel et nombres complexes 04-01-08 à 13:44

j'ai compri merci

Posté par
thoru
re : maths exponentiel et nombres complexes 04-01-08 à 14:08

la derniere question, c'est pour l'exo 2 "en deduire une equation de l'ensemble des points M tel que O  M' , M'' soient 2 a 2 ...
comment faut t'il proceder?

Posté par
patrice rabiller
re : maths exponentiel et nombres complexes 04-01-08 à 15:02

On a vu que O, M' et M" sont alignés si et seulement si z\bar z=-Im(z) autrement dit en posant z=x+iy : x^2+y^2=-y

Tu peux reconnaître l'équation d'un cercle en cherchant bien ...

Posté par
thoru
re : maths exponentiel et nombres complexes 04-01-08 à 15:15

dacor merci. dites moi si c'est exact, j'ai trouvé un cercle de centre (0 , pi/2) et de rayon pi/4

Posté par
thoru
re : maths exponentiel et nombres complexes 04-01-08 à 15:16

oups dsl, nan j'ai trouvé un cercle de centre (0 , 1/2) et de rayon 1/4

Posté par
patrice rabiller
re : maths exponentiel et nombres complexes 04-01-08 à 15:18

Non, moi je trouve un cercle de centre (0,-1/2) et de rayon 1/2 ...

Posté par
thoru
re : maths exponentiel et nombres complexes 04-01-08 à 17:24

bizarre .... j'ai faux mais pourquoi??
moi j'ai fais comme ceci :
x²+y²+y=0
x²+(y+1/2)²-1/4=0
donc x²+(y+1/2)²=1/4
donc c'est un cercle de cercle de centre E (0, -1/2i ) et de rayon 1/4

Posté par
thoru
re : maths exponentiel et nombres complexes 04-01-08 à 17:30

et comment peut 'on reprenster l'ensemble si nous ne savons pas la valeur de z ???

Posté par
patrice rabiller
re : maths exponentiel et nombres complexes 04-01-08 à 17:39

Le nombre complexe z peut se représenter dans le plan à l'aide du couple (x,y) non ? Le cercle trouvé (qui a bien pour rayon 1/2 et non pas 1/4) correspond donc à l'ensemble des point M d'affixe z tels que O, M' et M" sont alignés...

Posté par
thoru
re : maths exponentiel et nombres complexes 04-01-08 à 18:33

mais expliquer moi pourquoi vous rouver 1/2 ! svp

Posté par
patrice rabiller
re : maths exponentiel et nombres complexes 04-01-08 à 19:18

Tout simplement parce que l'équation x2+(y-1/2)2=1/4 est à rapprocher de l'équation générale d'un cercle : (x-a)2+(y-b)2=R2    (et non pas = R) et que 1/4 est le carré de 1/2

Posté par
thoru
re : maths exponentiel et nombres complexes 04-01-08 à 19:31

o mince désolé !!!!
merci beaucoup patrice rabiller de toute votre aide et de votre patince avec moi
mon programme demain c'est de faire mon dm de maths spé .... j'i arriverais j'espere !
Merci beaucoup !

Posté par
thoru
re : maths exponentiel et nombres complexes 05-01-08 à 12:44

jarive pas a placé les 3 points

Posté par
thoru
re : maths exponentiel et nombres complexes 05-01-08 à 15:38

bonjour !
3) On considère l'équation (E") : A3x + A2 = 3296
a) déterminer les couples d'entier relatifs (x;y) solutions de l'équation (E")
jai trouvé que le couple solution de (E") est (-10k + 412 ; 91k - 3708) )
b) Montrer que (E") admet pour solution un couple unique d'entiers naturels. Le déterminer.
donc voilà c'est juste cette derniere question ou je n'arrive pas
merci d'avance



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