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Etude de l'intersection d'une hyperbole et d'une parabole
Enoncé
Etude de l'intersection d'une hyperbole et d'une famille de paraboles
(O ; i ; j) est un repère orthonormal du plan.
Partie A
On désigne par P la courbe représentative de la fonction f définie dans R par :
f(x) = 1 x (4 - x)
2
H est la courbe représentative de la fonction g définie dans R - {3} par :
g(x) = x - 4
x - 3
1. Déterminez algébriquement les coordonnées des points d'intersection des courbes P et H.
2. Etudier algébriquement la position relative des courbes P et H
Partie B
M désigne un nombre réel non nul. On désigne par Pm la parabole représentant la fonction fm définie dans R par :
fm(x) = mx² - 4mx + 4m + 2.
3. Montrer qu'un point M (x ; y) appartient à la fois à l'hyperbole H et à la parabole Pm si, et seulement si, son abscisse x est solution de l'équation :
mx^3 - 7mx² + (16 + 1)x - 12m - 2 = 0 (E)
4.a) Vérifier que (E) est vérifiée pour x = 2
4.b) Déterminer les réels am, bm, et cm tels que :
mx^3 - 7mx² + (16 + 1)x - 12m - 2 = (x - 2) (amx² + bmx + cm).
4.c) Déduire de la factorisation établie à la question b. :
• L'ensemble des nombres réels m pour lesquels les courbes Pm et H ont un seul point commun ;
• L'ensemble des nombres réels m pour lesquels les courbes Pm et H ont deux points communs ;
• L'ensemble des nombres réels m pour lesquels les courbes Pm et H ont trois points communs.
D'après Bac S.
Réponses
1.f(x) = g(x)
(1/2)x (4-x) = (x-4)/(x-3)
(x - 3)(4 - x) = (x - 4)2x
4x - x² -12 + 3x = 2x² - 8x
- x² + 7x -12 = 2x² - 8x
- 3x² + 15x -12 = 0
delta = b² - 4ac
delta = 15² - 4 * 3 * -12
delta = 81 = 9²
(-b - racine delta)/2a = (-15 -9)/-6 = 4
(-b + racine delta)/2a = (-15 + 9)/-6 = 1
g(1)=(1-4)/(1-3)= -3/-2 = 3/2
g(4)=(4-4)/(4-3)= 0
Donc P et H se coupent en deux points : A (1;3/2) et B (4;0)
2.f(x) - g(x)
(1/2)x(4-x) - (x-4)/(x-3) =
(4-x){x-2- [-1/(-x+3)} =
(4-x)*(x-5)/(2x-6)
4-x =0 x = 4
x-5 =0 x = 5
2x-6 =0 x = 3
- infini 3 4 5 + infini
4-x + + O - -
x-5 - - - O +
2x-6 - || + + +
f(x) + || - O + O -
3.fm (x) = mx² - 4mx + 4m + 2
(x - 3) (mx² - 4mx + 4m +2) - (x -4) = 0
mx^3 - 4mx² + 4mx + 2x - 3mx² + 12 mx - 12 m + 6 - x + 4 = 0
mx^3 - 7mx² + 16mx + x - 12m - 2 =0
mx^3 - 7mx² + (1 6+1)x - 12m -2 = 0
4.a)
fm(x) = mx^3 - 7mx² + (16+1)x - 12m -2
fm (2) = m2^3 - 7 m 2² +16 * 2 +2 - 12 - 2
fm(2) = 8m - 28m + 32m +2 -12m -2
fm(2) = 0
Nous remarquons que pour x = 2 , mx^3 - 7mx² + (1 6+1)x - 12m -2 = 0 donc x = 2 est la solution de (E)
4.b)
(x - 2) (amx² + bmx +cm) =
amx^3 + bmx² + cmx - 2amx² - 2bmx - 2cm =
amx^3 + (bm -2am)x² + (cm - 2bm)x - 2cm
amx^3 = mx^3 donc am = 1
(bm - 2am)x² = - 7mx² donc bm = - 5 m
(cm - 2bm)x = (16m + 1) x donc cm = 6m +1
Cm + 10 m = 16m + 1
Cm = 16m - 10m +1
Cm = 6m + 1
Par contre pour la dernière question 4.c) je suis complétement bloquée, donc si quelqu'un peut m'explqiuer je ne suis pas contre ...
Merci
re-bonjour
PS : n'oublie pas le tit bonjour au début même si tu as déja posté un sujet ! 
Partie A
1) ok pour tes solutions mais tu pouvais faire plus simple :
f(x) = g(x) <=> (4-x)(x-3)=2(x-4) <=> (4-x)(x-3)+2(4-x) = 0 <=> (4-x)(x-1) = 0
ce qui te donne illico les solutions 1 et 4.
2) tu devrais retrouver ici la factorisation du numerateur en : (4-x)(x-1) , ton résultat n'est pas logique...
Puis quand tu as fait ton tableau , conclus sur la position des deux courbes.
je continue
Partie B
3) ok mais l'equation est: mx^3 - 7mx² + (16 m +1)x - 12m -2 = 0
4)a) ok
4)b)faute de frappe: pas 1
l'equation factorisée est donc : (x-2)(mx²-5mx+6m+1)=0
4)c) Déduire de la factorisation établie à la question b. :
• L'ensemble des nombres réels m pour lesquels les courbes Pm et H ont un seul point commun
il y a un point commun obligatoire qui est celui d' abscisse 2.
Il n'y en aura pas d'autre si cette equation n'a pas d'autre solution donc le trinome mx²-5mx+6m+1 doit avoir un discriminant négatif.
Calcule le discriminant et vois quelle(s) valeur(s) de m le rend(ent) négatif.
• L'ensemble des nombres réels m pour lesquels les courbes Pm et H ont deux points communs .
de meme ici , si le discriminant est nul il y a une seul solution pour le trinome du second degre , plus la solution x = 2 donc exactement deux solutions.
• L'ensemble des nombres réels m pour lesquels les courbes Pm et H ont trois points communs.
Cette fois il faut que le discriminant soit positif strictement.
à toi !
Enoncé
Etude de l'intersection d'une hyperbole et d'une famille de paraboles
(O ; i ; j) est un repère orthonormal du plan.
Partie A
On désigne par P la courbe représentative de la fonction f définie dans R par :
f(x) = 1 x (4 - x)
2
H est la courbe représentative de la fonction g définie dans R - {3} par :
g(x) = x - 4
x - 3
1.Déterminez algébriquement les coordonnées des points d'intersection des courbes P et H.
2.Etudier algébriquement la position relative des courbes P et H
Partie B
M désigne un nombre réel non nul. On désigne par Pm la parabole représentant la fonction fm définie dans R par :
fm(x) = mx² - 4mx + 4m + 2.
3.Montrer qu'un point M (x ; y) appartient à la fois à l'hyperbole H et à la parabole Pm si, et seulement si, son abscisse x est solution de l'équation :
mx^3 - 7mx² + (16 + 1)x - 12m - 2 = 0 (E)
4.a) Vérifier que (E) est vérifiée pour x = 2
4.b) Déterminer les réels am, bm, et cm tels que :
mx^3 - 7mx² + (16 + 1)x - 12m - 2 = (x - 2) (amx² + bmx + cm).
4.c) Déduire de la factorisation établie à la question b. :
•L'ensemble des nombres réels m pour lesquels les courbes Pm et H ont un seul point commun ;
•L'ensemble des nombres réels m pour lesquels les courbes Pm et H ont deux points communs ;
•L'ensemble des nombres réels m pour lesquels les courbes Pm et H ont trois points communs.
D'après Bac S.
Réponses
1.f(x) = g(x)
(1/2)x(4-x) = (x-4)/(x-3)
(x - 3) (4 - x) = (x - 4) 2x
4x - x² -12 + 3x = 2x² - 8x
- x² + 7x -12 = 2x² - 8x
- 3x² + 15x -12 = 0
delta = b² - 4ac
delta = 15² - 4 * 3 * -12
delta = 81 = 9²
(-b - racine delta)/2a = (-15 -9)/-6 = 4
(- b + racine delta)/2a =(-15 + 9)/-6 = 1
g(1)=(1-4)/(1-3)= -3/-2 = 3/2
g(4)=(4-4)/(4-3)= 0
Donc P et H se coupent en deux points : A (1;3/2) et B (4;0)
2.f(x) - g(x)
(1/2)x(4-x) - (x-4)/(x-3) =
(4-x){x-2 -[-1/(-x+3)] =
(4-x)[(x-5)/(2x-6)
2x-6=0 donc x = 3
x-5=0 donc x = 5
4-x=0 donc x = 4
Tableau de signes :
- infnini 3 4 5 +infini
4-x + + O - -
x-5 - - - O +
2x-6 - || + + +
f(x) + || - O + O -
3.fm (x) = mx² - 4mx + 4m + 2
(x - 3) (mx² - 4mx + 4m +2) - (x -4) = 0
mx^3 - 4mx² + 4mx + 2x - 3mx² + 12 mx - 12 m + 6 - x + 4 = 0
mx^3 - 7mx² + 16mx + x - 12m - 2 =0
mx^3 - 7mx² + (1 6+1)x - 12m -2 = 0
a) fm(x) = mx^3 - 7mx² + (16+1)x - 12m -2
fm (2) = m2^3 - 7 m 2² +16 * 2 +2 - 12 - 2
fm(2) = 8m - 28m + 32m +2 -12m -2
fm(2) = 0
Nous remarquons que pour x = 2 , mx^3 - 7mx² + (1 6+1)x - 12m -2 = 0 donc x = 2 est la solution de (E)
b) (x - 2) (amx² + bmx +cm) =
amx^3 + bmx² + cmx - 2amx² - 2bmx - 2cm =
amx^3 + (bm -2am)x² + (cm - 2bm)x - 2cm
amx^3 = mx^3 donc am = 1
(bm - 2am)x² = - 7mx² donc bm = - 5 m
(cm - 2bm)x = (16m + 1) x donc cm = 6m +1
Cm + 10 m = 16m + 1
Cm = 16m - 10m +1
Cm = 6m + 1
Par contre pour la 4.c) je suis complétement bloquée alors j'aurais voulu savoir si mes réponses sont exactes et une explication pour comprendre la dernière question ...
Merci.
*** message déplacé ***
Bonjour,
Tout d'abord, est-ce : (le x au numérateur) ou
(le x au dénominateur) ?
D'après ce que tu as écrit (et vu la tête de la partie B), ce serait . Mais je demande, parce que tu sembles avoir fait dans la première question comme si c'était la deuxième forme
...
Si c'est la première : etc...
Critou
*** message déplacé ***
Bonjour Critou,
Tout d'abord merci d'avoir répondu à mon post.
Le x est bien au numérateur.
Donc tous mes calculs sont faux ?
*** message déplacé ***
Tous tes calculs... non, juste la question 1) de la partie A (enfin, je n'ai pas encore vérifié le reste mais chaque chose en son temps).
Je te laisse terminer le calcul pour cette question...
Critou
*** message déplacé ***
1. f(x)=g(x)
x(x-4)=(x-4)
2 (x-3)
= x(4-x)(x-3) = 2(x-4)
(4x-x²)(x-3) = 2x -8
4x² -12x -x^3+3x² = 2x-8
-x^3 + 7x²- 14x +8 =0
Mais je n'aie pas encore vu des equation du troisième degré
*** message déplacé ***
Bah oui mais si je ne développe pas je ne plus rien faire ?
Par calcul je trouve les même coordonnées que quand j'ai tapé mes fonctions à la calculatrice.
*** message déplacé ***
À la calculatrice tu ne trouves pas trois points d'intersection plutôt que 2?
Quand on ne peut pas développer, on... factorise . À partir de x(4-x)(x-3)=2(x-4), passe tout du même côté de l'égalité et mets (4-x) en facteur...
Pour la question 2) :
D'accord il s'agit d'étudier le signe de f(x)-g(x)
f(x)-g(x)=(1/2)x(4-x)-(x-4)/(x-3) OK
mais ta factorisation --> (4-x)[x-2 -[-1/(-x+3)] me semble louche (d'où sort le - de "x-2" ? et tu m'as l'air de te mélanger les pinceaux avec les signes : pour te simplifier la vie écris ça comme ça : --> on change le (x-4) en -(4-x),
devient donc
; toi tu as en plus changé le signe au dénominateur, ça fait un changement de signe de trop
)
Factorise ça maintenant
La suite plus tard, pas le temps maintenant
Critou
*** message déplacé ***
Si je factorise j'obtient :
x(4-x)(x-3)=2(x-4)
x(4-x)(x-3)= 0
2(x-4)
(4-x)[x(x-3)/2] = 0
Et à partir de ce moment là je peux développer ?
Je suis complétement perdue
En tout cas merci de ton aide
*** message déplacé ***
Question 2:
f(x)-g(x) = x (4-x) + (4-x) * 1
2 (x-3)
f(x)-g(x) = (4-x)[x/2 + 1/(x-3)
*** message déplacé ***
Multipost !!!
https://www.ilemaths.net/forum-sujet-180724.html
Multipost !!!
https://www.ilemaths.net/sujet-etude-de-l-intersection-d-une-hyperbole-et-d-une-parabole-180468.html
*** message déplacé ***
Je m'excuse pour ce multipost mais en retruvant pas le sujet, je pensais avoir eu un beug. Encore une fois désolée.
D'accord, je suis nouvelle sur le forum et je te remercie de cette petite précision, encore une fois je m'excuse pour ce multipost.
Il n'y a pas péril en la demeure. En général, le multi-post "de bonne foi" ne provoque pas d'exclusion. Tu le sauras pour la prochaine fois. Comme l'indique la FAQ, il faut d'abord éviter le multi-post pour éviter de décourager les gens qui aident : passer du temps à aider un élève, et découvrir que quelqu'un d'autre le fait en parallèle est rageant.
D'accord Nicolas, merci.
Je m'excuse donc auprès des correcteurs car je comprends tout à fait qu'ils soient découragé en découvrant qu'ils corrigent un exercice déjà corrigé par une autre personne.
Pour en revenir à l'exercice, pour la question 2 je trouve bien une factorisation en (4-x) :
f(x)-g(x)= x/2 (4-x) + (4-x)[1/x-3]
f(x)-g(x)=(4-x)[x/2 + 1/(x-3)]
Peux-tu me dire si je suis sur la bonne voie ?
Merci.
Je m'excuse Critou, comme j'ai déjà expliqué :
Je ne trouvai plus mon post et étant nouvelle sur le forum je pensais qu'il n'avait pas été pris en compte c'est pourquoi je l'ai publié de nouveau.
Encore pardon Critou, et merci pour ton aide.
*** message déplacé ***
oui c'est juste , mais je réalise tout à coup que ton x representait un "x" et non pas un "multiplié"... ce qui change tout...
Hello ,
Je vous rejoins ici (bonsoir sarriette) !
On termine la question 1) :
si tu divises par 2(x-4) tu vas avoir 1 à droite de l'égalité, pas 0. Pour avoir 0 (ce qui nous arrangerait plus) il faut soustraire, pas diviser !
Critoupour la question 1 aussi...
en fait j'ai mal corrigé ta question hier, désolée.
f(x) = g(x) <=> x(4-x)(x-3)=(x-4)² <=> (4-x)(x(x-3)+2)=0 <=> (4-x)(x2-3x+2)= 0 <=> (4-x)(x-1)(x-2) = 0
donc 3 points d'intersection d'abscisses: 4, 1 et 2
ce que confirme le schema:
ok?
zut ce n'est pas x(4-x)(x-3)=(x-4)² mais x(4-x)(x-3)=(x-4).2 erreur de frappe, decidement...
Bonsoir critou je te laisse continuer?
D'accord pour la question 1 j'ai bien compris : il y a donc 3 intersections :
en A 1;3/2)
en B(4;0)
en C(2;2)
2.f(x)-g(x)= 1x (4-x) - (x-4)/(x-3)
2
f(x)-g(x)=(4-x)(x/2)-[1/(x-3)]
f(x)-g(x)=(4-x)[x/2(-x+3)]
Après je développe le dénominateur :
f(x)-g(x)=(4-x)(x/-2x+6)
Ah non j'ai commis une erreur j'ai fais comme si c'était une multiplication, or il faut que je mette au même dénominateur soit :
2.f(x)-g(x)= 1x (4-x) - (x-4)/(x-3)
2
f(x)-g(x)=(4-x)(x/2)-[1/(x-3)]
f(x)-g(x)=(4-x)[x*(x-3)/2(x-3) - 2/2(x-3)
f(x)-g(x)=(4-x)[(x²-3x -2)/2(x-3)
ouh là... y a des erreurs ou bien je ne lis pas bien tes parentheses:
et maintenant tout ça doit rentrer dans un tableau de signes...
oui voila ton deuxieme post est presque bon ( c'est x²-3x+2) , puis tu factorises le trinome du second degré et on trouve la meme chose
-> didine2781
Pas d'adresse mail dans les messages.
Si tu penses que ton exercice est parti dans les profondeurs du forum, poste un petit message dans ton topic, il remontera parmi les premiers.
Merci
Sarriette, en factorisant je trouve ce résultat :
f(x)-g(x)=(4-x)[x(x-3) +2/2(x-3)
Je retrouve bien (4-x)et le dénominateur mais je ne vois pas comment on peut retrouver (x-1)(x-2)
oui c'est ça donc au numerateur tu as: (4-x)(x²-3x+2) et au denominateur tu as 2(x-3)
puis x²-3x+2 s'ecrit (x-1)(x-2)
(si tu ne le vois pas facilement tu peux calculer le discriminant)
2. f(x)-g(x)= 1x (4-x) - (x-4)/(x-3)
2
f(x)-g(x)=(4-x)(x/2)-[1/(x-3)]
f(x)-g(x)=(4-x)[x*(x-3)/2(x-3) - 2/2(x-3)
f(x)-g(x)=(4-x)[(x²-3x +2)/2(x-3)
f(x)-g(x)=(4-x)[x(x-3) +2/2(x-3)
f(x)-g(x)=[(4-x)(x-1)(x-2)]/2x-6
4-x =0 donc x = 4
x-1= 0 donc x=1
x-2=0 donc x=2
2(x-3)=2x-6 =0 donc x =3
Tableau de signe :
- infini 1 2 3 4 + infini
4-x + + + + O -
x-1 - O + + + +
x-2 - - O + + +
2x-6 - - - || + +
f(x)-g(x) - O + O - || + O -
g(x)
alors pas de double barre en 3 sur la ligne 2x-6 mais un 0 .
la double barre est sur la ligne f(x)- g(x)
sinon c'est tout juste
pour le post suivant aussi et cela se verifie sur le dessin
ouf il était temps d'en finir avec cette question. Je te remercie d'avoir bien voulu corriger ces questions. Je regarde maintenant la question 4)c. avec ton premier post car je n'avais pas compris.
4.c)
mx²-5mx+6m+1
donc a =1, b =-5 et c=6
delta= b²-4ac
delta=(-5)²-4*1*6
delta=25-24
delta=1
pourtant je devrai trouver une réponse négative :s
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