Bonjour.
Soit u₁, u₂, tes deux vecteurs propres.
Soit B la base dans laquelle la matrice A est triangulaire.
On note u₃ = (x, y, z) le 3 eme vecteur de cette base.

Soit f l'endomorphisme représenté par A dans la base canonique.
Calcule d'une part l'image par f de u₃, grace a la matrice A.
Tu sais aussi, vu que tu as la matrice représentative de f dans la base B, que f(u₃) = 0*u₁ + u₂ - 2u₃
(C'est la troisième colonne de ta matrice triangulaire)

Il te reste donc un systeme en x,y,z a trois equations a resoudre.

Pour le systeme différentiel, on peut l'ecrire sous la formule :
X' = AX ou A est la matrice dans la base canonique
avec X' = (x', y', z'), et X = (x, y, z)
Dans la base B, il devient X' = AX, ou A est la matrice triangulaire (dans la base B), et X' = (u', v', w')
Dans cette configuration, tu obtient que -2w = w', ainsi tu obtient l'expression de w, et en remontant celle de v et u.
u, v, w sont exprimés ici par leurs coordonnées dans la base B, utilise donc ta matrice de passage de la base canonique a la base B pour recupérer les fo

oups fausse manoeuvre, je continue

u, v, w sont exprimés ici par leurs coordonnées dans la base B, utilise donc ta matrice de passage de la base canonique a la base B pour recupérer les l'expression de x, y, z.

Voila.
Arkhnor.

j suis pas tres a l'aise avc les changement de passe pourrais tu si je te donne le spectre et tout ce qui font me le faire en detaillant stp

a =-(2+x)^2.(1+x)
sp(a)= {-2,-1}

sous espaces propres
E-2 = vect(1,1,0) celui la c'est mon u
E-1 = vect(-2,-1,1) celui la c mon v

moi ce qui me pose problème c'est comment avoir l'iddee de regarder dernière colonne pour  de poser AW= V-2W

et toute la suite est assez floue pour moi je suis pas tres a l'aise avc matrice de passage etc donc stp detaille beaucoup
merci a toi un exo du meme tupe risque de retomber en exam ds pas longtemps

desole pour les fautes de frappe je suis un peu polio

pouvez vous m'expliquer d'où lui viens l'idée de regarder dernière colonne de la matrice que l'on nous donne etc

en gros pouvez vous m'expliquer la dernière partie de la l'exo car ils y aura un exo semblable au controle je pense donc il faut que maîtrise la méthode
allez y doucement quand vous parlez de matrice de passage pas tres a l'aise avec cette notion merci bcp a vous

bonjour,
je reprends ce que t'a expliqué Arkhnor qui n'a pas l'air d'être là
c'est sur la matrice que tu lis les images des vecteurs de base,la troisième colonne te donne les composantes de f(w)   dans la base (v,u,w) donc f(w)=0u+u-2w ou encore (f+2id)w=u ce que tu peux traduire dans la base canonique  par (A+2I)W=U   (1)
où U est la matrice unicolonne représentant u(1;1;0)et W la matrice unicolonne représentant w(x;y;z)

on doit donc résoudre le système:
3x-3y+z=1
2x-2y+z=1
-x+y   =0
tu essaies de résoudre

j'ai compris en partie f(w)=0u+v-2w moi le truc qui me chagrine c'est comment juste avec ça tu parviens a trouver le systeme

et je ne vois pas non plus comment tu passes de f(w)=ou+v-2w a (f+2id)w=u et a (A+2I)W=U

il y a une petite faute de frappe f(w)=0v+u-2w j'avais pris u vecteur propre correspondant à la valeur propre -1 et ton u corespond à la valeur propre -2 donc j'ai modifié mais il restait un v

f(w)=u-2w donc f(w)+2w=u soit(f+2id)(w)=u
la matrice de f+2id dans la base canonique c'est A+2I  où A est la matrice donnée par le texte
3 -3 1  x
2 -2 1 *y=(A+2I)*W=U
-1 1 0  z

pourrais tu reprendre j'est essayer de refaire et jy suis pas arriver merci a toi comment tu sais que U (110)

merci bcp a toi

je recommence,il y a eu un problème d'envoi
tu as trouvé que le sous espace correspondant à  la valeur propre -2 c'est la droite vectorielle engendrée par u(1,1,0) on a donc f(u)=-2u
donc la deuxième colonne de la matrice de f dans la base (v,u,ww) c'est ^t(0,-2,0)

f(w)=u-2w d'après la troisième colonne que l'on veut obtenir-on cherche w (x,y,z)pour qu'il en soit ainsi

on est donc amener à résoudre le système que j'ai écrit plus haut

je reviendrai tout à l'heure je crois qu'il y a une erreur de notation j'ai pris les vecteurs u et v que tu donnais sans vérifier je revois ça  après le repas

merci de perdre ton temps avc moi c gentil j examens dem1 et cr genre d'exos pourrait tomber donc je veux etre au taquet j'attends tes explications d'après repas lol

je croyais avoir un peu près pigé ms la tu me fais flipper lol

non il n'y a pas d'erreur
w(x,y,z) est de la forme (x,x,1) on peut prendre x=0

une base répondant à la question est donc (v,u,w)
avec v=(-2,-1,1)
u=(1,1,0)
W=(0,0,1)
la matrice de passage de la base canonique à la base (v,u,w) est donc P=
-2 1 0
-1 1 0
0 0 1

dans la  base (v,u,w) la matrice de f est
-1  0 0
0 -2 1
0 0 -2

on n'a pas besoin de P^-1 mais je l'ai calculée c'est
-1 1 0
-1 2 0
1 -1 1
  

je vois une erreur de frappe
première colonne de P
-2
-1
1

moi je reste tjours bloquer sur cette question bete qui me taraude comment sait on que U=(1,1,0)?
et pourquoi as tu pour base (v,u,w) et non pas (u,v,w) tout ces petits details me genent meme si j'ai compris l'idee generale

dis moi si je me trompe on a pris U=(1,1,0) car il faisait partie du sous espace propres associe a la valeur propre -2 et que comme elle est de multiplicite 2 on cherchait w pour correspondre acette "optique"

pour la résolution du système:
sous forme matricielle dans la base canonique il s'écrit X'=AX  (S)
dans la base (v,u,w) il s'écrit Y'=BY (S') B étant la matrice triangulaire
-1 0 0
0 -2 1
0 0 -2
et Y(x,y,z)
on a donc le système
x'=-x      (1)
y'=-2y+z   (2)
z'=-2z      (3)
(1) donne x=ae^-t
(3) donne z=ce^-2t
(2)y'=-2y+ce^-2t qui donne sauf erreur de calcul y=[ct+b]e^-2t
on a  donc Y tel que Y'=BY soit PY'=PBY=PBP^-1PY=A(PY)
donc si Y est solution de (S') X=PY est solution de (S) et réciproquement
on a Y,on a P donc on a X

pour répondre à ton post de 21h29
la première colonne de la matrice triannngulaire est ^t(-1,0,0) ce qui veut dire que le premier vecteur de la nouvelle base a pour image son opposé c'est donc v avec les notations que tu as prises f(v)=-v
l'image du  second vecteur de base est égale à -2fois ce vecteur c'est donc un vecteur de E_-2
celui que tu a noté u par exemple et ensuite on a cherché w

si on me donne le meme genre d'enonce en exams en qq lignes comment dois je my prendre je suis en train de me melanger je crois

c'est quand tes examens?tu ferais mieux d'arrêter pour ce soir et d'essayer de revoir cela demain

demain 10h :):)
et c'est le seul exercice que je comprends pas trop et c'est celui qui va tomber lol

j'ai compris le f(w)=...... j'ai compris le (A+2id)W=U ce que je comprend pas c'est comment tu sais que U=(1,1,0) pourquoi ce pourrait pas etre U=(-2 -1 1 ) voila ce qui me gene