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Matrices diagonalisables et trigonalisables
Bonjour à tous;
Alors voilà, j'ai l'énoncé d'un exercice, mais je n'ai pas la correction, alors pourriez-vous me corriger, ce serai vraiment sympa, je vous en remercie d'avance.
Exercice 1:
Soit (Un)n
la suite de réels définie par
u0 = 1 u1 = 1 u2 = 1
, un+3 = 45un - 39un+1 + 11un+2
Notons, n , un = (un )
(un+1)
(un+2)
1) Déterminer une matrice A M3(
) telle que : n
, Un+1 = AUn.
2) En déduire que n , Un = AnU0.
3) Démontrer que le polynôme caractéristique de A est PA(X) = ( X - 5 )( X - 3 )²
4) Traiter les deux questions suivantes dans l'ordre désiré :
i) la matrice A est-elle diagonalisable ? Justifier.
ii) Déterminer le polynôme minimal de A, noté Pm,A(X).
5) a) Calculer le reste, noté R(X), dans la division euclidienne de Xn par Pm,A(X). (Préciser son degré et calculer ses coefficients en fonction de n).
b) En déduire la première ligne de la matrice An en fonction de n.
6) Exprimer, pour tout n dans , un en fonction de n.
7) La suite (un)n est-elle convergente ou divergente ? Justifier.
Juste le temps d'écrire les réponses.
(Merci d'avance pour votre correction 
).
Voici mes réponses :
1) un+1 = A*un
un+1 0 1 0 un
un+2 = 0 0 1 * un+1
un+3 45 -39 11 un+2
Donc la matrice A est :
0 1 0
0 0 1
45 -39 11
2) u0 = 1
u1 = A*u0 = A
u2 = A*u1 = A*A*U0 = A²*u0
u3 = A*u2 = A*A*U0 = A3*u0
u4 = A*u3 = A*A3*u0 = A4*u0
--
--
--
--
On constate que un = An*u0
3) En calculant det(A-
Id)=.....= -3 + 11² -39 +45
(-5)(a²+b+c)
a3 + b² + c - 5a² - 5b -5c
a3 + ² (b-5a)² +(c-5b) -5c
---
---
---
= (-5)(- + 6 -9)
= -(-5)(-3)²
Donc le polynôme caractéristique de A est:
PA(X) = (X-5)(X-3)²
Est ce que déjà les 3 réponses sont justes
.
Non, le polynôme caractéristique est bien . Il doit avoir une petite érreur dans l'énoncé. Attention
est l'endomorphisme identité et non la matrice unité !
Sinon, c'est correct !
bonjour,
au lieu d'écrire on constate que Un=An.U0 fais plutôt une récurrence.
pour le polynome caractéristique certains auteurs prennent -det(A-I)cela n'a pas une grande importance on a bien les mêmes valeurs propres (le polynôme minimal lui est normalisé)
Bonjour Veleda,
D'accord pour le polynôme caractéristique, si je fais une récurrence:
Supposons Un=An.U0 comme hypothése de récurrence, c'est à dire vrai au rang n, est-ce vrai au rang n+1 ?
pour u1=A*u0 = A
Un+1 = An+1.U0
Un+1 = An. A.U0
Un+1 = An.A.U0.U0
(car: u1 = A*u0 = A)
Un+1 = An+1.(U0)²
est-ce ceci ?? Merci pour vos réponses
je reviens à la question 2) je crois que tu as fait une confusion entre le terme unde la suite
et la matrice unicolonne Un=
un
un+1
un+2
les premières lignes que tu as écrites sont inexactes
U1=A.U0
avec U0=
u0
u1
u2
désolée j'ai été absente un moment et j'ai repris sans me rendre compte de vos interventions
pour la récurrence tu supposes que Un=An.U0
tu sais que Un+1=A.Un=>Un+1=A(An).U0=An+1.U0
le polynôme caractéristique d'une matrice carrée A d'ordre n c'est PA(X)=det(A-XIn)
>>Soucou: c'est - pourquoi +?
je corrige ton post de 16h06
U1=A.U0
donc la propriété est vraie au rang 1
A.U0=A.t[u0 u1 u2]=A.t[1 1 1 ]
tu multiplies A à droite par la matrice colonne U0
1
1
1
et non par le terme u0=1
U1 n'est pas égal à A
U1 c'est la matrice unicolonne
1 u1
1 =u2
17 u3
En tout, dans la version 9 de Maple (celle qu'on utilise au lycée)et même avec la TI-89 je crois, la définition du polynôme caractérique est , je suis presque certain de moi, mais je ne l'ai pas sous la main pour vérifier.
si tu prends cette expression les solutions de PA()=0 sont les opposées des valeurs propres de A
tu peux vérifier dans un manuel d'algèbre le polynome caractéristique de A matrice carrée d'ordre n c'est
det(A-XIn) ou det(XIn-A) suivant les auteurs
Ah exacte veleda, je vous remercie, c'est vrai nous avons la matrice unicolonne, merci d'avoir corrigé les 3 premières questions voici les suivantes:
4)ii). Déterminons le polynôme minimal:
On sait que le Pc(X)=(X-5)(X-3)²
Les valeurs propres de A sont: 5 et 3, donc comme le polynôme minimal doit contenir les mêmes racines que le polynôme caractéristique on a le choix entre:
(X-5)(X-3) et (X-5)(X-3)²
(A-5Id)(A-3Id)=
(-5 1 0) (-3 1 0)
(0 -5 1) ( 0 -3 1) 
0
(45 -39 6) (45 -39 8)
(A-5Id)(A-3Id)²=0 (je l'ai calculé c'est vrai)
Donc le polynôme minimal est:
Pm,A(X)=(X-5)(X-3)²
4)i).
A n'est pas diagonalisable, car son polynôme minimal n'est pas scindé à racine simple.
est-ce que mes réponses sont justes ? (Merci pour vos réponses )
Bonsoir
Selon moi, c'est correct.
Remarque: f n'est pas diagonalisable, car son polynôme minimal n'est pas scindé à racine simple. n'est vrai qu'en dimension finie
Bonsoir jeanseb
Donc si mes réponses sont justes, je vais continuer et faire la question 5
Merci à tous pour votre correction
5a).
Xn = (X3 - 11X² + 39X - 45)Q(X) + R(X)
( car deg(R(X))
2 )
avec: P(X) = X3 - 11X² + 39X - 45
R(X) = aX² + bX + c
Comme 3 est racine de multiplicité 2 pour P(X), donc 3 est racine de P'(X), de plus 5 est racine de P(X) donc:
nXn-1 = P'(X)Q(X)+ P(X)Q'(X) + R'(X)
avec R'(X) = 2aX + b
3n = R(3) = 9a + 3b + c
5n = R(5) = 25a + 5b + c
n3n-1 = R'(3) = 6a + b
On obtient le système suivant:
9a + 3b + c = 3n L1
25a + 5b + c = 5n L2
6a + b = n3n-1 L3
L3: b = -6a + n3n-1
L2-L1: 16a +2b = 5n - 3n
en remplaçant avec b on a:
=> a = (5n - 3n - 2n.3n-1) / 4
on remplace a dans b = -6a + n3n-1
et on obtient:
=> b = (-3.5n + 3n+1 + 2n.3n + 2n.3n-1) / 4
=> c = (-3n+2 - 2n.3n+1 + 9.5n + 3n(-4n + 4)) / 4
donc: R(X) = aX² + bX + c
5b).
D'après le théorème de Cayley-Hamilton: P(A) = 0
An = (A3 - 11A² + 39A - 45)Q(A) + R(A)
Donc: An = R(A)
A² = (0 1 0) ² (0 0 1 )
(0 0 1) = (45 -39 11 )
(45 -39 11) (495 -384 82)
R(A) = aA² + bA + cId
On remplace avec les matrices A², A et Identité
et on obtiens la première ligne de la matrice An en fonction de n:
An = R(A) = ( a b c )
( - - - )
( - - - )
Est-ce que mes réponses sont justes ? (Merci pour vos réponses )
bonjour,j'ai verifié a et b je trouve la même chose
par contre je ne suis pas d'accord pour An
j'ai c b a sur la première ligne et non a b c
Un=An.U0==>un=c+b+a
Bonjour Veleda;
Vous avez raison, je trouve également Un = c + b + a , je vous remercie de m'avoir corrigé
7). Je ne sais pas comment justifier si la suite Un est convergente ou divergente, comment le démontrer ?
Merci d'avance pour votre aide 
bonsoir
un=a+b+c=5n-4n.3n-1=5n[1-(4n/3)(3/5)n] sauf erreur de ma part
tu cherches la limite quand n->+oo
Bonsoir Veleda
lim 5n[1-(4n/3)(3/5)n] = +00
n->+00
car lim 5n = +00
n-> +00
lim 4n/3 = +00
n -> +00
donc:
lim 5n[1-(4n/3)(3/5)n] = +00
n->+00
est-ce vrai ? je vous remercie d'avance pour votre réponse
Bonjour Veleda;
Je vous remercie de m'avoir aidé sur cette exercice, de plus j'ai tout compris, merci encore et bonne aprés-midi 
pour rien,je ne sais plus si j'ai déjà travaillé avec toi en algèbre,je ne fais pas très attention au pseudo mais il me semble que c'était un étudiant de lens
Oui c'est ça, je pense que c'était vous, car vous me l'aviez également démandé.
Oui, je suis en deuxième année de licence de math-info, à lens, et je fais des exercices dont je n'ai pas la correction
Il me reste encore un exercice à faire et si vous voulez, pourriez vous regarder si ce que je fais sera juste ? ,(ce serai sympa, de plus vous aurez le temps pour me corriger, toute la semaine si vous voulez, je ne suis pas préssée, il est en 2 parties, ce sera le même genre d'exercice avec les matrices diago et trigo).
Je l'intitulerai "Les matrices sous forme diagonale et trigonale "
Sinon merci encore, pour cette exercice
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