compact, fonction continue, dans espace métrique

Posté par mellepapillon mellepapillon

Bonjour, voilà un autre exercice qui me semble intéressant mais je ne suis pas sure de moi...

Soient (X,d) (Y, ) et (Z,) des pesaces métriques et f une application continue de X x Y dans Z. On suppose que Y est compact.
Pour tout y Y onnote fy : X Z l'application x f(x,y)

Soinet xo X et >o. On pose
= {(x,y) X x Y | (f(x0,y),f(x,y)) < }

Je dois montrer qu'il existe un voisinage V de xo dans X tel que V x Y

Là  j'ai condidéré fy continue donc si on pose U = B( fy(xo), ) , U est un voisinage de xo,
donc fy^(-1)(U) = fy^(-1)(B( fy(xo), )) est un voisinage de xo et
par def on a V x Y , est ce que ceci est juste ?

Ensuite on doit montrer que l'ensemble {fy | y Y} est équicontinu.Je pense avoir réussi ( ceci découle de la continuité de fy ? ) Mais jamais je n'utilise l'hypothèse Y compact, est ce normal ?

Un grand merci pour votre aide.. Bon-soir

Posté par Cauchy Cauchy

Re,

t'as un peu triché ici, j'ai l'impression que tu travailles à y fixé hors y par court Y donc c'est un peu plus compliqué(et peut être que la la compacité va intervenir, surement même)

Posté par mellepapillon mellepapillon

C'est bien ce que je me disais, trop simple pour être vrai...
Pour utiliser l'argument de compacité il faudrait peut etre des suites...d'ailleurs en parlant de compacité j'ai une autre question

Si (E,d) est compact, et (xn) une suite de E et l E, telle que toute suite extraite convergente de (xn) converge vers l. Montrer que la suite  (xn) converge...

une idée ?

Posté par Cauchy Cauchy

Je dois y aller la, pour la compacité tu as aussi les recouvrements qui est une propriété utile.

Pour ta question, essaie par l'absurde si xn ne converge pas une sous-suite "assez loin" de l(c'est une idée je pense que ca marche il faut juste formaliser ca).

Posté par mellepapillon mellepapillon

alors file bon appétit, et bonne soirée et merci beaucoup en tout cas

Posté par mellepapillon mellepapillon

OUi ça marche bien par l'absurde! Merci,..reste la suuite maintenant

Posté par Cauchy Cauchy

Ok