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Exercice sur la formule de Taylor pour les polynômes
Bonjour, je suis un peu bloqué pour cet exercice, si quelqu'un a un peu de temps à m'accorder je lui en serai très reconnaissant. Merci d'avance.
Soit P un polynôme appartenant à 
2p+1[X] tel que pour tout entier k entre 0 et 2p+1, P(k)(0)< 0.
a) Montrer que P(X) admet au moins une racine réelle.
Je sais que si P est de degré sup. ou égal à 2 il admet au moins une racine réel.
Si P est de degré 2 le discriminant doit être positif.
b) Montrer que toutes ses racines réelles sont strictement négatives.
Selon le prof il faudra utiliser la formule de Taylor, donc pour 
=0
P(X)= P(0) + P'(0)X +...+ [P(k)(0) / k!].Xn
Mais je vois où l'utiliser et pourquoi (peut-être la question 2 ?)
Salut, 
Je sais que si P est de degré sup. ou égal à 2 il admet au moins une racine réel.
Ah bon, c'est nouveau ça.
Tu veux dire que Ne confonds pas "être irréductible" et "avoir une racine".
Bonjour.
En connaissant le degré d'un polynôme, la seule chose que tu peux affirmer, c'est que si un polynôme est de degré impair, alors il admet au moins une racine réelle.
Arkhnor.
merci.
Je n'ai jamais vu cette propriété. Mais je ne sais pas que P est de degré impair, il est de degré inférieur ou égal à 2p+1
Bonjour
Si la dérivée 2p+1 ième de P est < 0, donc non nulle, c'est qu'il est de degré 2p + 1 exactement, donc de degré impair.
Cordialement
Frenicle
P est un polynôme dont tous les coefficients sont strictement négatifs (formule de Taylor).
Donc si x est positif ou nul, P(x) sera strictement négatif, donc non nul.
Donc les racines réelles sont forcément strictement négatives.
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