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Extension de corps algébriquement clos.
Bonjour à tous, 
J'ai un petit souci (en fait, un gros mais bon... 
) avec ce lemme. Je suis censé le démontrer en tant qu'indication d'un exo.^^
Il s'agit de démontrer que:
Toute extension de dimension au plus dénombrable d'un corps indénombrable algébriquement clos est triviale.
Je reconnais que le résultat énoncé comme ça est plutôt barbare (comme l'exo d'ailleurs...
).
Pour faire simple: Vous prenez un corps
J'ai montré ceci:
Soit
Alors soit
C'est plutôt très facile à démontrer donc je ne vais pas reproduire la démo ici. J'en suis là, j'arrive pas à avancer.
Si quelqu'un à des suggestions (pas la soluce, bien évidemment
), ça serait sympa de me les faire parvenir.
Merci d'avance.
Ayoub.
Bonjour
Je ne l'ai pas fait, donc c'est juste une idée. Essaye de montrer qu'une extension dénombrable est réunion croissante d'extensions finies.
Bonjour Camélia,
Essaye de montrer qu'une extension dénombrable est réunion croissante d'extensions finies.
Quand tu dis "extension dénombrable", tu veux bien dire "extension de dimension dénombrable", je me trompe? (Idem pour extension finie).
Par contre, pour "réunion croissante", je vois pas trop. Si on fait une réunion d'ensemble, de toute façon la suite qu'on obtient est forcément croissante non?
Ca descend vite à l'approche de la rentrée.
Il me semble que cela n'apporte pas grand chose puisqu'on ne peut pas avoir d'extension finie: ça bloque dès le deuxième cran.
On sait que la base (xn) contient un et un seul élément de k qui puis est non nulle (donc inversible). On ne perd rien à supposer que c'est 1 et que x0=1. On a ainsi que k(x0)=k.
Mais x1
k! Donc il s'en suit que k(x0,x1)=k(x1) est une extension non triviale de k: sa dimension en tant que k-espace vectoriel est donc infinie.
Donc on tourne en rond...
Cette fois j'ai réfléchi.
Soit L une extension non triviale de K algébriquement clos. Soit t un élément de L qui n'est pas dans K. Alors pour tout a de K, on a dans L l'élément (t-a)-1 ce qui forme une famille non dénombrable. Je te laisse montrer qu'elle est libre sur K.
Si je peux me permettre retiens bien cette astuce tu la retrouvera tres vite si tu t'interesse à la géométrie algébrique (Nullstellensatz!)
Rodrigo >> T'es franchement trop bluffant toi! 
Ce lemme sert de préliminaire pour montrer Nulltellesatz (version Hilbert) dans l'exo d'après.
Euh, j'aimerais savoir si de ce lemme on peut en tirer les conclusions suivantes:
- On a surtout pas interêt à étudier en tant que
-espace vectoriel.
- Le problème inverse de Galois pour (ou pour n'importe quel corps algébriquement clos) n'est pas solvable.
?
Dans la terminologie francophone, H n'est pas un corps. (un corps, c'est comutatif).
(et meme si tu autorise les corpsnon comutatif, le résultat dont tu parle utilise essentiellement que les corps dont tu parle sont comutatifs)
Dans la terminologie francophone, H n'est pas un corps. (un corps, c'est comutatif).
Ah bon, ben merci. Je savais qu'on avait l'habitude de parler d'algèbre à divisions quand on voulait insister sur le fait que le corps n'était pas commutatif mais dans ce sens là, je ne connaissais pas ce fait.
J'ai pas utilisé la commutativité dans la démo de mes résultats et les propriétés utilisés sont aussi vraies pour les commutatifs que pour les non-commutatifs. Où est-ce-que ça cloche ?
"Dans la terminologie francophone, H n'est pas un corps. (un corps, c'est comutatif" je ne suis pas du tout d'accord avec cette affirmation, c'est sans doute un usage en prépa . Ce n'est pas le cas en université ni à l'agrégation.
De toute façon c'est une question de convention. Celui qui parle (ou écrit) n'a qu'à les fixer, tout le monde sera d'accord.
C'est une algèbre à division, mais bon, c'est inventer un nouveau mot pour décrire quelque chose qu'on était capable de décrire avec les terminologies existantes...
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