L'artilleur
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L'artilleur
Posté le 04-01-08 à 13:46
Posté par 
J-P J-P 
Pierre est artilleur, mais il lui vient une drôle d'idée.
Il est sur un terrain horizontal et il voudrait tirer un obus de telle manière que la courbe trajectoire de l'obus soit la plus longue possible.
(Ne pas confondre avec la portée).
Pouvez-vous aider Pierre et lui donner l'angle d'inclinaison par rapport au sol (horizontal) qu'il doit donner à son canon pour satisfaire son désir.
Sachant que la vitesse initiale de l'obus (au sortir du canon) est de 200 m/s et en prenant g = 10 N/kg, quelle sera la longueur maximum de la courbe trajectoire de l'obus.
Les frottements de l'obus dans l'air seront négligés.
On considèrera que le tir a lieu au niveau du sol.
L'angle sera donné en degrés (dans [0 ; 90]), la réponse sera arrondie au 1/2 degré le plus proche.
La longueur sera donnée en mètres arrondie au mètre le plus proche.
ATTENTION :
2 réponses sont attendues (angle et longueur).
Bonne chance à tous.
J-P J-P Pierre est artilleur, mais il lui vient une drôle d'idée.
Il est sur un terrain horizontal et il voudrait tirer un obus de telle manière que la courbe trajectoire de l'obus soit la plus longue possible.
(Ne pas confondre avec la portée).
Pouvez-vous aider Pierre et lui donner l'angle d'inclinaison par rapport au sol (horizontal) qu'il doit donner à son canon pour satisfaire son désir.
Sachant que la vitesse initiale de l'obus (au sortir du canon) est de 200 m/s et en prenant g = 10 N/kg, quelle sera la longueur maximum de la courbe trajectoire de l'obus.
Les frottements de l'obus dans l'air seront négligés.
On considèrera que le tir a lieu au niveau du sol.
L'angle sera donné en degrés (dans [0 ; 90]), la réponse sera arrondie au 1/2 degré le plus proche.
La longueur sera donnée en mètres arrondie au mètre le plus proche.
ATTENTION :
2 réponses sont attendues (angle et longueur).
Bonne chance à tous.
re : L'artilleur Posté le 04-01-08 à 16:26
Posté le 04-01-08 à 16:26Posté par Nofutur2 Nofutur2
Angle = 56,5° (au 1/2 degré le plus proche)
Longueur = 4799 m (au mètre le lus proche).
Bonne année à tous !!
Nofutur2 Nofutur2Angle = 56,5° (au 1/2 degré le plus proche)Longueur = 4799 m (au mètre le lus proche).
Bonne année à tous !!
re : L'artilleur Posté le 04-01-08 à 19:21
Posté le 04-01-08 à 19:21Posté par plumemeteore plumemeteore
bonjour
l'angle du canon est de 45 degrés par rapport au sol, donnant une courbe d'une longueur maximum de 4591 mètres (le boulet atterrira 4 kilomètres plus loin)
plumemeteore plumemeteorebonjourl'angle du canon est de 45 degrés par rapport au sol, donnant une courbe d'une longueur maximum de 4591 mètres (le boulet atterrira 4 kilomètres plus loin)
re : L'artilleur Posté le 04-01-08 à 21:37
Posté le 04-01-08 à 21:37Posté par master_och master_och
bonsoir J-P
J'ai trouvé l'équation suivante:
L = 4000 cos²
-tg
tg
(y²+1)dy
J'ai résolu par programmation, je trouve alors:
Lmax= 4799m (4798.7arrondi au mètre le plus proche), pour une valeur de=56.5° (56.47arrondi au 0.5° le plus proche).
j'éspère que l'approximation donnée par mon programme ne me trompe pas, sinon
et merci pour l'énigme que je trouve interessante!.
master_och master_ochbonsoir J-PJ'ai trouvé l'équation suivante:
L = 4000 cos²
-tgtg(y²+1)dyJ'ai résolu par programmation, je trouve alors:
Lmax= 4799m (4798.7arrondi au mètre le plus proche), pour une valeur de
=56.5° (56.47arrondi au 0.5° le plus proche).j'éspère que l'approximation donnée par mon programme ne me trompe pas, sinon
et merci pour l'énigme que je trouve interessante!
.re : L'artilleur Posté le 04-01-08 à 22:05
Posté le 04-01-08 à 22:05Posté par frenicle frenicle
Bonjour J-P
Pierre doit tirer avec un angle de 56°27'57" avec le sol, soit environ 56,5°.
La longueur de la trajectoire sera de 4798,71 m soit environ 4799 m.
(La portée sera alors de 3683,88 m).
Cordialement
Frenicle
frenicle frenicleBonjour J-P Pierre doit tirer avec un angle de 56°27'57" avec le sol, soit environ 56,5°.
La longueur de la trajectoire sera de 4798,71 m soit environ 4799 m.
(La portée sera alors de 3683,88 m).
Cordialement
Frenicle
re : L'artilleur Posté le 05-01-08 à 12:42
Posté le 05-01-08 à 12:42Posté par bobuble (invité)
sa m'etonnerai que la reponse soi ossi simple que sa mais je v quan meme essayer:
200/10 bien que nous ne connaissont pa le points de l'obus
ce qui ferai 20°
je dirai que le resultat doit tourner dans c'est eau la
sa m'etonnerai que la reponse soi ossi simple que sa mais je v quan meme essayer:200/10 bien que nous ne connaissont pa le points de l'obus
ce qui ferai 20°
je dirai que le resultat doit tourner dans c'est eau la
re : L'artilleur Posté le 05-01-08 à 14:42
Posté le 05-01-08 à 14:42Posté par jamo jamo 
Rebonjour,
je reviens juste pour détailler la méthode que j'ai utilisée pour donner ma réponse.
On montre assez facilement que l'équation de la trajectoire est donnée par :
 = - \frac{g}{2 V_0^2 \cos^2 ( \alpha )} x^2 + \tan ( \alpha ) x)
On en tire la portée en résolvant l'équation f(x)=0 :)
La longueur parcourue est donnée par :
![4$ L( \alpha ) = \int_0^{x_{max}} sqrt{1 + [ f^'(x) ]^2} dx](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?4$ L( \alpha ) = \int_0^{x_{max}} sqrt{1 + [ f^'(x) ]^2} dx)
Une petite tabulation de cette fonction (à la TI92 pour ma part) permet de trouver la valeur de l'angle !
jamo jamo Rebonjour,je reviens juste pour détailler la méthode que j'ai utilisée pour donner ma réponse.
On montre assez facilement que l'équation de la trajectoire est donnée par :
On en tire la portée en résolvant l'équation f(x)=0 :
La longueur parcourue est donnée par :
Une petite tabulation de cette fonction (à la TI92 pour ma part) permet de trouver la valeur de l'angle !
Le fut du canon Posté le 06-01-08 à 15:52
Posté le 06-01-08 à 15:52Posté par rogerd rogerd
Merci à J-P pour cette énigme.
Je n'ai rien trouvé de plus rusé que de calculer la longueur de la trajectoire du boulet en fonction de l'angle de tir
puis de chercher le qui donne la longueur maximale.
Le calcul de la longueur se simplifie un peu en prenant comme variable, au lieu du temps, l'angle polaire
du vecteur vitesse (on évite les radicaux). On trouve
, qu'on sait calculer.
On dérive la fonction de obtenue.
On cherche ensuite les zéros de la dérivée sur![]0,\frac \pi 2[](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?]0,\frac \pi 2[)
.
On tombe sur une équation en
que je ne sais pas résoudre de façon exacte.
A l'aide de la calculatrice, je trouve
degrés, à 1 degré près. Unique zéro de la dérivée, il donne nécessairement le maximum.
J'en déduis la longueur de la trajectoire à 1 mètre près: l=4799 m.
Au revoir!
rogerd rogerdMerci à J-P pour cette énigme.Je n'ai rien trouvé de plus rusé que de calculer la longueur de la trajectoire du boulet en fonction de l'angle de tir
Le calcul de la longueur se simplifie un peu en prenant comme variable, au lieu du temps, l'angle polaire
On dérive la fonction de
On cherche ensuite les zéros de la dérivée sur
On tombe sur une équation en
A l'aide de la calculatrice, je trouve
J'en déduis la longueur de la trajectoire à 1 mètre près: l=4799 m.
Au revoir!
re : L'artilleur Posté le 06-01-08 à 19:28
Posté le 06-01-08 à 19:28Posté par davidh davidh
Bonjour,
Pour un angle de 56 degrés, la trajectoire sera de 4798,4 mètres.
Sauf erreur
Merci pour l'énigme.
PS, la démonstration est facile, théorème de la mécanique plus intégrale d'une courbe curviligne et dérivation de la formule littérale. Les calculs sont fastidieux et j'ai un peu de flemme à écrire des pages de LATEX.
davidh davidhBonjour,Pour un angle de 56 degrés, la trajectoire sera de 4798,4 mètres.
Sauf erreur
Merci pour l'énigme.
PS, la démonstration est facile, théorème de la mécanique plus intégrale d'une courbe curviligne et dérivation de la formule littérale. Les calculs sont fastidieux et j'ai un peu de flemme à écrire des pages de LATEX.
L'artilleur Posté le 06-01-08 à 23:02
Posté le 06-01-08 à 23:02Posté par rogerd rogerd
Je m'aperçois qu'il fallait donner la réponse au demi-degré le plus proche et je crois l'avoir donnée au degré près. Comme j'ai trouvé 56,4658 degré, je crois que la réponse attendue était 56,5.
Pendant que j'y suis: j'ai trouvé 4798,715 comme longueur maximale de la trajectoire. je pense donc que la réponse attendue était: 4799 mètres.
Avec toutes mes excuses.
rogerd rogerdJe m'aperçois qu'il fallait donner la réponse au demi-degré le plus proche et je crois l'avoir donnée au degré près. Comme j'ai trouvé 56,4658 degré, je crois que la réponse attendue était 56,5.Pendant que j'y suis: j'ai trouvé 4798,715 comme longueur maximale de la trajectoire. je pense donc que la réponse attendue était: 4799 mètres.
Avec toutes mes excuses.
re : L'artilleur Posté le 08-01-08 à 14:42
Posté le 08-01-08 à 14:42Posté par gloubi gloubi
Bonjour,
Ah, la cinématique!
Après avoir testé plusieurs inclinaisons possible, je trouve une trajectoire de longueur maximum
pour une inclinaison de 56,5°, la longueur étant 4799 mètres.
A+,
gloubi
gloubi gloubiBonjour,Ah, la cinématique!
Après avoir testé plusieurs inclinaisons possible, je trouve une trajectoire de longueur maximum
pour une inclinaison de 56,5°, la longueur étant 4799 mètres.
A+,
gloubi
re : L'artilleur Posté le 09-01-08 à 14:02
Posté le 09-01-08 à 14:02Posté par dhalte dhalte
Bonjour
Dans le repère du canon :
Avec vitesse initiale
gravité 
vecteur vitesse instantanée \\ v_0\sin(\alpha)-gt}\))
module de cette vitesse instantanée
\sqrt{(\frac{g}{v_0\cos(\alpha)}t-\tan(\alpha))^2+1})
Abscisse de l'obust-\frac12gt^2)
L'obus touche terre pour
, ce qui exclut évidemment 
Soit
le moment de l'atterrissage }g)
La longueur de la trajectoire est donnée par la somme
on rappelle que
^{\frac{-1}2dt = \text{asinh}(t) + C)
On en déduit une expression de la longueur de la trajectoire
![L=\frac{v_0^2}{g}\[\cos^2(\alpha) \text{asinh}(\tan(\alpha))+\sin(\alpha)\]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?L=\frac{v_0^2}{g}\[\cos^2(\alpha) \text{asinh}(\tan(\alpha))+\sin(\alpha)\])
L'expression dérivée en s'annule pour vérifiant l'expression =\sinh(\frac1{\sin(\alpha)}))
En posant})
, on peut rechercher la solution de \sqrt{z^2-1}=1)
J'ai fini par une recherche de solution numérique (merci excel)
dhalte dhalteBonjourDans le repère du canon :
Avec vitesse initiale
vecteur vitesse instantanée
module de cette vitesse instantanée
Abscisse de l'obus
L'obus touche terre pour
Soit
La longueur de la trajectoire est donnée par la somme
on rappelle que
On en déduit une expression de la longueur de la trajectoire
L'expression dérivée en
En posant
J'ai fini par une recherche de solution numérique (merci excel)
re : L'artilleur Posté le 11-01-08 à 21:37
Posté le 11-01-08 à 21:37Posté par manpower manpower
Bonjour,
juste en passant "l'énigme" est vraiment belle, c'est un magnifique problème.
Par contre, le calcul intégral de la longueur de la parabole apparait vraiment rebutant ! (en cartésienne ou polaire d'ailleurs... bonjour les changements de variables, je n'ai pas le courage)
Ensuite il faudrait trouver le maximum en fonction de l'angle... pfff je suis curieux de voir les détails (sans outil de calcul formel).
Merci Pierre pour ta drôle d'idée.
manpower manpowerBonjour,
juste en passant "l'énigme" est vraiment belle, c'est un magnifique problème.
Par contre, le calcul intégral de la longueur de la parabole apparait vraiment rebutant ! (en cartésienne ou polaire d'ailleurs... bonjour les changements de variables, je n'ai pas le courage)
Ensuite il faudrait trouver le maximum en fonction de l'angle... pfff je suis curieux de voir les détails (sans outil de calcul formel).
Merci Pierre pour ta drôle d'idée.
re : L'artilleur Posté le 12-01-08 à 14:46
Posté le 12-01-08 à 14:46Posté par J-P J-P
Enigme clôturée.
Pour ceux qui se sont trompés et ceux qui n'ont pas oser tenter l'aventure :
En choisissant un repère orthonormé avec l'origine à l'endroit du tir, l'axe des abscisses horizontal et l'axe des ordonnées vertical vers le haut, le plan xoy étant celui contenant la trajectoire de l'obus.
Avec l'origine des temps au moment du tir, on a:
x(t) = vo.cos(alpha).t
y(t) = vo.sin(alpha).t - gt²/2
avec Vo la vitesse initiale de l'obus et alpha l'angle entre le canon et l'horizontale.
En éliminant t entre ces 2 équations, on obtient l'équation de la trajectoire de l'obus, soit :
y = x.tg(alpha) - [g/(2.Vo².cos²(alpha))].x²
La résolution de x.tg(alpha) - [g/(2.Vo².cos²(alpha))].x² = 0 donne les 2 abscisses entre lesquelles il faut calculer la longueur de la trajectoire.
On a x1 = 0 et x2 = (vo²/g)*sin(2 alpha)
On peut alors calculer la longueur de la courbe trajectoire par :
 = \int_0^X_2\ \sqrt{1+y'^2}\ dx)
On trouve:![L = \frac{1}{2a}.(argsh(b) + \frac{sh(2argsh(b))}{2}]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?L = \frac{1}{2a}.(argsh(b) + \frac{sh(2argsh(b))}{2}] )
Avec a = g/(2.vo².cos²(alpha)) et b = tg(alpha)
On peut évidemment; si on veut, triturer l'expression de L pour faire sauter les fonctions hyperboliques ou bien les conserver ...
On a alors par exemple:
![L = \frac{Vo^2}{g}.[cos^2(x).ln(\frac{1+sin(\alpha)}{cos(\alpha)}) + sin(\alpha)]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi? L = \frac{Vo^2}{g}.[cos^2(x).ln(\frac{1+sin(\alpha)}{cos(\alpha)}) + sin(\alpha)] )
Il suffit alors d'étudier la fonction L(alpha) pour trouver la valeur de alpha qui la rend maximum.
Soit on y va à la matheux, dérivée ..., soit on trace la courbe avec un tableur en prenant les précautions d'usage pour la précision, soit ...
Si on y va à la matheux, on tombe sur une équation (issue de L'(alpha) = 0) simple mais dont il est impossible de trouver la valeur solution de alpha de manière analytique. Et donc on y va soit graphiquement soit par approximations successives.
De toutes manières, on aboutit à une valeur max de L pour alpha = 0,982215... radian, soit 56,466...°, qui, arrondi au 1/2 degré le plus proche, donne alpha : 56,5°
En introduisant g = 10 N/m et vo = 200 m/s dans l'équation, on trouve alors L max : 4798,7... m et donc arrondi au m le plus proche: L max = 4799 m
J-P J-P Enigme clôturée.
Pour ceux qui se sont trompés et ceux qui n'ont pas oser tenter l'aventure :
En choisissant un repère orthonormé avec l'origine à l'endroit du tir, l'axe des abscisses horizontal et l'axe des ordonnées vertical vers le haut, le plan xoy étant celui contenant la trajectoire de l'obus.
Avec l'origine des temps au moment du tir, on a:
x(t) = vo.cos(alpha).t
y(t) = vo.sin(alpha).t - gt²/2
avec Vo la vitesse initiale de l'obus et alpha l'angle entre le canon et l'horizontale.
En éliminant t entre ces 2 équations, on obtient l'équation de la trajectoire de l'obus, soit :
y = x.tg(alpha) - [g/(2.Vo².cos²(alpha))].x²
La résolution de x.tg(alpha) - [g/(2.Vo².cos²(alpha))].x² = 0 donne les 2 abscisses entre lesquelles il faut calculer la longueur de la trajectoire.
On a x1 = 0 et x2 = (vo²/g)*sin(2 alpha)
On peut alors calculer la longueur de la courbe trajectoire par :
On trouve:
Avec a = g/(2.vo².cos²(alpha)) et b = tg(alpha)
On peut évidemment; si on veut, triturer l'expression de L pour faire sauter les fonctions hyperboliques ou bien les conserver ...
On a alors par exemple:
Il suffit alors d'étudier la fonction L(alpha) pour trouver la valeur de alpha qui la rend maximum.
Soit on y va à la matheux, dérivée ..., soit on trace la courbe avec un tableur en prenant les précautions d'usage pour la précision, soit ...
Si on y va à la matheux, on tombe sur une équation (issue de L'(alpha) = 0) simple mais dont il est impossible de trouver la valeur solution de alpha de manière analytique. Et donc on y va soit graphiquement soit par approximations successives.
De toutes manières, on aboutit à une valeur max de L pour alpha = 0,982215... radian, soit 56,466...°, qui, arrondi au 1/2 degré le plus proche, donne alpha : 56,5°
En introduisant g = 10 N/m et vo = 200 m/s dans l'équation, on trouve alors L max : 4798,7... m et donc arrondi au m le plus proche: L max = 4799 m
re : L'artilleur Posté le 12-01-08 à 15:36
Posté le 12-01-08 à 15:36Posté par simon92 simon92
je suis trop décu, parce que j'arrivait pas a trouver la fonction de l'obus, alors que je connais el théorème perméttant de calculer la longueur d'un arc...
j'ai pourtant chercher la fonction, mais j'ai pas réussi
simon92 simon92je suis trop décu, parce que j'arrivait pas a trouver la fonction de l'obus, alors que je connais el théorème perméttant de calculer la longueur d'un arc...
j'ai pourtant chercher la fonction, mais j'ai pas réussi
re : L'artilleur Posté le 12-01-08 à 15:40
Posté le 12-01-08 à 15:40Posté par gui_tou gui_tou
Non J-P fallait pas cloturer
J'ai demandé à mon prof comment calculer des intégrales curvilignes, j'avais presque tout sur maple, et ce soir je voulais me lancer dans les applications numériques
Enfin bravo à tous
gui_tou gui_touNon J-P fallait pas cloturer
J'ai demandé à mon prof comment calculer des intégrales curvilignes, j'avais presque tout sur maple, et ce soir je voulais me lancer dans les applications numériques
Enfin bravo à tous
re : L'artilleur Posté le 12-01-08 à 15:45
Posté le 12-01-08 à 15:45Posté par simon92 simon92
mais on peut pas avoir la courbe de l'obus? c'est a dire la courbe représentative de la trajectoire de l'obus...
simon92 simon92mais on peut pas avoir la courbe de l'obus? c'est a dire la courbe représentative de la trajectoire de l'obus...
re : L'artilleur Posté le 12-01-08 à 15:49
Posté le 12-01-08 à 15:49Posté par simon92 simon92
bah, justement, c'est ce que je veux comme ca on calcule l'integrale de 1+[f'(x)]² de 0 a l'autre solution de l'équation f(x)=0e t voila au moins juste pour essayer
simon92 simon92bah, justement, c'est ce que je veux
comme ca on calcule l'integrale de 1+[f'(x)]² de 0 a l'autre solution de l'équation f(x)=0e t voila au moins juste pour essayerre : L'artilleur Posté le 12-01-08 à 15:54
Posté le 12-01-08 à 15:54Posté par frenicle frenicle
Bonjour
C'est la courbe verte.
La rouge donne celle de portée maximale (4000 m, tirée à 45°)
Cordialement
Frenicle
frenicle frenicleBonjour C'est la courbe verte.
La rouge donne celle de portée maximale (4000 m, tirée à 45°)
Cordialement
Frenicle
re : L'artilleur Posté le 12-01-08 à 15:56
Posté le 12-01-08 à 15:56Posté par simon92 simon92
bonjour frenicle et merci
je vais pas essayer c'est un peu trop compliqué pour moi
simon92 simon92bonjour frenicle et merci
je vais pas essayer c'est un peu trop compliqué pour moi
re : L'artilleur Posté le 12-01-08 à 16:13
Posté le 12-01-08 à 16:13Posté par simon92 simon92
ha sorry gui_tou
Je vais chercher a determiner la longueur de la courbe en fonctino de alpha, mais dans ce cas, il faut faire une integration avec deux variable, non?
simon92 simon92ha sorry gui_tou
Je vais chercher a determiner la longueur de la courbe en fonctino de alpha, mais dans ce cas, il faut faire une integration avec deux variable, non?
re : L'artilleur Posté le 12-01-08 à 16:23
Posté le 12-01-08 à 16:23Posté par gui_tou gui_tou
D'abord intègre la fonction en x, puis dérive la en fonction de alpha, enfin je pense
gui_tou gui_touD'abord intègre la fonction en x, puis dérive la en fonction de alpha, enfin je pense
re : L'artilleur Posté le 12-01-08 à 16:28
Posté le 12-01-08 à 16:28Posté par simon92 simon92
oui, je vais voir ca avec mon atlas, mais aujourd'hui je vais un peu philosopher
simon92 simon92oui, je vais voir ca avec mon atlas, mais aujourd'hui je vais un peu philosopher
re : L'artilleur Posté le 12-01-08 à 18:28
Posté le 12-01-08 à 18:28Posté par master_och master_och
Bonsoir à tous
J'adore les problèmes de physique (mais lorsqu'elles sont à la porté de mes connaissance biensur), enfin j'ai juste voulue dire que l'énigme est superbe.
merci bien J-P
master_och master_ochBonsoir à tousJ'adore les problèmes de physique (mais lorsqu'elles sont à la porté de mes connaissance biensur
), enfin j'ai juste voulue dire que l'énigme est superbe.merci bien J-P
re : L'artilleur Posté le 12-01-08 à 18:41
Posté le 12-01-08 à 18:41Posté par veleda veleda
bonsoir à tous,
bravo à ceux qui ont trouvé
j'ai bien trouvé l'expression de la longueur de la trajectoire en fonction de mais j'ai calé ensuite , j'y suis allée à la matheuse et les approximations successives c'est pas ma passion
la réponse est donnée, merci cela m'évitera de m'y remettre ce soir
veleda veledabonsoir à tous,
bravo à ceux qui ont trouvé
j'ai bien trouvé l'expression de la longueur de la trajectoire en fonction de
mais j'ai calé ensuite , j'y suis allée à la matheuse et les approximations successives c'est pas ma passionla réponse est donnée, merci cela m'évitera de m'y remettre ce soir
Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 1266,67 %33,33 %
Temps de réponse moyen : 54:17:02.
Nombre de participations : 12
66,67 %33,33 %8 
4
4Temps de réponse moyen : 54:17:02.
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