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Espace vectoriel

Posté par
Crevett 04-01-08 à 18:50

Bonsoir,
Je suis bloquée sur un exo sur les espaces vectoriels depuis un certain temps...bref un ptit coup de main serait le bienvenu^^Voici le sujet:


\text Soit \Delta : \mathbb{C} [X]\rightarrow \mathbb{C} [X] defini par: \\ \Delta(P)(X)=P(X+1)-P(X). \\ On definit \Delta^0=Id_{\mathbb{C}[X]} et \Delta^{p+1}=\Delta\circ\Delta^p \\ Montrer que si P est un polynome de degre n, alors \Delta^n(P)\neq0 et \Delta^{n+1}(P)=0. Prouver alors que: \\ P(X)=P(0)+\frac{\{X\}}{1!}\Delta P(0)+...+\frac{\{X\}^k}{k!}\Delta^k P(0) +...+\frac{\{X\}^n}{n!}\Delta^n P(0) \\ sachant que pour tout k\in\mathbb{N*}, on note: \\ \{X\}^k=X(X-1)...(X-k+1) \\


Voilà voilà merci d'avance pour votre aide!

PS:et désolée pour les accents, je sais plus comment les faire en Latex...

Posté par
Crevettre : Espace vectoriel 04-01-08 à 18:59

Ah et puis j'ai oublié de préciser...pour le \Delta^{n+1}(P)=0, c'est bon ça je sais quand même faire

Posté par
soucoure : Espace vectoriel 04-01-08 à 20:15

Arf ! C'est un exo hyper classique celui-là... Enfin du moins je me rappelle l'avoir fait (mais y a un an presque !).

On a pour tout P\in\mathbb{C}[X] où deg(P)=n, deg\Delta(P)=n-1,...,deg\Delta^n(P)=0 donc Im\Delta et \mathbb{C} sont isomorphes (polynôme constant).

Il me semble qu'il faut écrire la formule de Taylor pour un polynôme de degré n et... comparer.

\displaystyle P=\sum_{k=0}^na_kX^k=\sum_{k=0}^n\frac{X^k}{k!}P^{(k)}(0)

Donc, \displaystyle\Delta(P)=\sum_{k=1}^na_k\sum_{l=0}^{k-1}C^l_kX^l.

\Delta(P)(0)=a_0

J'y réflechie encore un peu !

Posté par
Crevettre : Espace vectoriel 04-01-08 à 20:57

Euh en fait on a absolument rien fait sur les polynômes pour l'instant, donc la formule de Taylor pour les polynômes je la connais pas...m'enfin si on peut s'en sortir comme ça, ça sera toujours mieux que rien, je rajouterai la démo de la formule en annexe^^
Sinon j'ai pas tout compris, notamment le "Im\Delta et \mathbb C sont isomorphes" et le passage de l'expression P à \Delta P (bon ok j'ai pas compris grand chose)...
Ah et j'ai réussi à montrer que \Delta^n(P)(X)=(-1)^n\Bigsum_{k=0}^n(-1)^kP(X+k), je sais pas si ça peut servir à qqc...
En tout cas merci pour ton aide!

Posté par
Crevettre : Espace vectoriel 05-01-08 à 15:08

Si je peux me permettre^^

Posté par
Crevettre : Espace vectoriel 05-01-08 à 21:45

Re-!

Posté par
soucoure : Espace vectoriel 05-01-08 à 22:11

Bah, toujours avec la formule de Taylor pour les polynômes (en connais-tu UNE dans le cas général ?).

Mais évaluée en k\in\mathbb{R} où \mathbb{C} (?) et biôme de Newton ensuite :

\displaystyle P=\sum_{p=0}^n\frac{\ (X-k)^p\ }{p!}P^{(p)}(k)=\sum_{p=0}^n\frac{\ (-1)^p\ }{\ p!\ }\sum_{l=0}^pC_p^l(-1)^lX^lP^{(p)}(k)

Je cherche encore, y a pas mal d'indice là dedans !

Posté par
lyonnaisre : Espace vectoriel 05-01-08 à 22:29

Bonsoir

On peut montrer que :

\Large{\Delta^nP = \sum_{k=0}^n \(n\\k\) (-1)^{n-k}P(X+k)

Si deg(P) = n

\Large{deg(\Delta^nP) = 0

Donc :

\Large{\sum_{k=0}^n \(n\\k\) (-1)^{n-k}P(X+k) = 0

X <-- 0

\Large{P(n) = \sum_{k=0}^{n-1} \(n\\k\) (-1)^{n-k}P(k)

A voir si ça peut aider :D

(et à vérifier aussi ...)

Bonne soirée

Posté par
soucoure : Espace vectoriel 05-01-08 à 22:39

Le problème c'est aussi qu'au début il faut montrer que \Delta^n(P)\no=0 et toi lyonnais tu utilises le fait que c'est nul...

Arf, je pige plus rien !

Posté par
Crevettre : Espace vectoriel 05-01-08 à 22:42

Aaaah suis-je bête la formule de Taylor c'est toujours la même!...Je sais pas pourquoi je m'étais mis en tête que les P^{k} c'était des itérés (oui oui je sors)...
Sinon j'ai pas trop suivi ta "binôme-de-newtonisation"(le (-1)^p et l'absence de k^(n-p))...

Bon je peux peut-être partir de \Delta^{n+1}(P) et utiliser le fait que ça c'est nul si P est de degré n...je dois encore creuser tout ça m'enfin merci à tous les 2 pour les pistes

Posté par
lyonnaisre : Espace vectoriel 05-01-08 à 22:46

Exact tu as raison Soucou, je voulais m'appuyer sur :

\Large{\Delta^{n+1}P

En fait, on a plutôt :

\Large{\sum_{k=0}^{n+1} \(n+1\\k\) (-1)^{n+1-k}P(X+k) = 0

Donc :

\Large{P(n+1) = \sum_{k=0}^{n} \(n+1\\k\) (-1)^{n-k}P(k)

Après, reste à voir si ça peut servir ...

Posté par
lyonnaisre : Espace vectoriel 05-01-08 à 22:47

Lire :

\Large{\Delta^{n+1}P = 0

Posté par
Crevettre : Espace vectoriel 05-01-08 à 22:47

Ce qui me trouble c'est quand même qu'il faut introduire ces {X}...mais X c'est pas forcément un entier du tout non?

Posté par
soucoure : Espace vectoriel 05-01-08 à 22:49

Arf ! Tout à fait pour les k puissances... Bon je sors à mon tour et je garde mon p'tit niveau de TSI mdr.

Posté par
soucoure : Espace vectoriel 05-01-08 à 22:50

X est complexe apparement !!!!!!!


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