(1).
X³ + X² - 2 = 0

1 est racine évidente:

=> X³ + X² - 2 = (X - 1) (X² + 2X + 2)

X² + 2X + 2 n'a pas de racines réelles car delta = -4 <0
X₁ = -1 -i
X₂ = -1 +i

Donc X₁ et X₂ sont les racines de X²+2X+2 dans M_n(C)
Mais ensuite je ne sais pas comment terminer la question car on a:

X³ + X² - 2 = (X - 1) (X² + 2X + 2) = (X - 1) (X - X₁) (X - X₂)
On constate un racine réelle et 2 racines complexes ??

Bonjour,

1) "Pour qu'un endomorphisme soit diagonalisable, il faut et il suffit qu'il annule un polynôme scindé dont toutes les racines sont simples." Tu utilises ce résultat. Ton raisonnement est juste tu as pris le polynome en question. Tu as trouvé un polynome scindé dont toutes les racines 1 , -1-i, -1 + i sont simples. Tu en déduis donc que A est diagonalisable dans M_n().

Mais A n'est pas diagonalisable dans M_n()

En effet, comme tu as pu le remarquer X³+ X² - 2 = (X-1)(X² + 2X + 2), polynôme irréductible dans mais ce n'est pas un polynôme s'exprimant comme un produit de monômes de degré 1 comme dans , ce qui justifie que A non diagonalisable dans ce cas

le polynôme n'est juste pas scindé dans , et ça justifie direct la non diagonalisation de A dans Mⁿ()

Bonjour  Binouze_Flip64;
Ah d'accord, je te remercie pour ta réponse, j'ai bien compris

Par contre pour la question 2, pourquoi dit-on dans chaque cas, écrire une matrice diagonale DM_n(C)
on fais cherche juste une matrice diagonale dans M_n(C) (je n'ai jamais fait ceci, je sais seulement le faire dans R).

Donc on procède de la même façon que dans R, on cherche les sous-espaces propres  
associés aux valeurs propres 1 , -1-i, -1 + i ??

Rappelons d'abord un résultat :

"Deux matrices M et N sont semblables s'il existe une matrice P inversible telle que N = P^-1MP"

A mon avis, il faut distinguer le cas où on se place dans M_n() et M_n()

1er cas : dans M_n()

Puisque A est diagonalisable dans M_n(), il existe une matrice inversible P et une matrice diagonale D telles que : D = P^-1AP avec D = , c'est réglé.

2e cas : dans M_n()

On ne peut pas trouver de matrice diagonale D semblable à A dans ce cas comme A non diagonalisable..

Merci Binouze_Flip64, pour tes réponses claires, donc pour la 2). on a pas besoin de déterminer les matrices inversibles P et P^-1

Petite question:
Si jamais on aurait dû déterminer les matrices de passage P et P^-1, est-ce qu'on aurait fait pareil que pour les matrices M_n(R), c'est à dire avec la comatrice:

com(P)=(1/det(P)) * ^t(com P)
(je pense que oui, mais on aurait eu une matrice avec des i non!!)

3).Pouvez-vous me mettre sur la piste pour démontrer que det A > 0,
d'après l'indication P_c(A) = (X - 1) (X - X₁) (X - X₂)
je pense qu'on ne peut pas savoir si det A > 0, car
X₁ < 0 et X₂ < 0

Pouvez vous m'aider ? Je vous en remercie d'avance

* pas besoin de déterminer P et puis ne connaissant pas l'expression de A ça parait pas possible lol

* Oui les  méthodes de calculs sont valables dans  M_n() et dans M_n(), le i en plus n'est génant en rien .Avec la comatrice ça marche oui, on aurait eu des i dans la matrice seulement . Après bon pour calculer l'inverse d'une matrice tu peux aussi utiliser la méthode du pivot de Gauss, que l'on utilise le plus souvent pour des matrices de grande taille, car c'est souvent plus facile.

* polynôme caractéristique : det(A-XI) = (1-X)(X₁-X)(X₂-X) où X est un réel

Pour X = 0, on a donc det(A) = 1(-1-i)(-1+i) = (1-i²) = 1 + 1 = 2 ! donc det(A) bien strictement positif





    

Oui, c'est vrai que si on a pas la matrice A ça ne va pas être évident de calculer P

Par contre pourquoi avoir inversé (1-X)(X1-X)(X2-X), car que ce soit:
det(A-XId)=(1-X)(X1-X)(X2-X) ou det(IdX-A)=(1-X)(X1-X)(X2-X) c'est la même chose, à un signe prés le signe - non!!
Comment avez-vous su qu'il y avait un - ?

Vous avez pris X=0, est-ce qu'on peut prendre n'importe quel X ? même un X négatif ?

Encore merci pour vos réponses c'est

Alors : redéterminons ce fameux polynome caractéristique

Il faut savoir qu'un polynome caractéristique est invariant par changement de base. Ainsi on montre que :

det(A - XI) = det(P^-1AP - XI) (tu peux le faire à titre d'exercice en utilisant le fait que I = P^-1IP et les propriétés du determinant d'un produit de matrices).

Comme D = P^-1AP, on a : det(A - XI) = det(D - XI) = =

Après comme on nous demande det A je prends evidemment le cas X = 0 et je regarde le signe ..

Si tu désires plus de renseignements je peux te repondre par mail si tu veux

Ah d'accord, je ne savais pas cette petite astuce: det(A - XI) = det(P-1AP - XI), c'est , j'ai tout compris, encore merci.

PS: Oui, si tu veux ce serai sympa pour l'email, si jamais j'ai encore des questions surtout tout ce qui concerne l'algébre linéaire. Par contre on a pas le droit de mettre des adresses mail sur le forum, il faut là mettre dans ton profil.

le problème j'ai deja mis mon mail sur le profil mais ca apparait pas

Bon je vais faire apparaitre la mienne alors .